随机过程的频域分析
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1. 什么是谱
所谓的谱，就是把一个复杂的系统，按照某种指标进行分解。常见的谱就比如
- 频谱:分解的指标是频率，信号在每一个频率上强度的大小
- 光谱：分解的指标是光的波长，光在每一个波长上分量的大小
- 抗菌谱：广谱/窄谱，是指能够对抗的细菌种类
我们这里的谱针对的是随机信号/随机过程
接下来，我们要解决两个问题
- 确定信号中已经有了谱的概念，随机信号的概念是否可以直接搬过来呢?
- 如果不能直接搬过来，要做哪些工作呢?
2. 确定信号的频谱
我们先对确定信号的谱进行一个回顾。
2.1 周期信号的频谱
我们先假设确定信号具有周期性
Period T X ( t + T ) = X ( t ) ∀ t \text{Period T} \\ X(t+T) = X(t) \quad \forall t Period TX(t+T)=X(t)∀t
周期信号可以做傅里叶级数展开。但是注意，一旦谈到傅里叶级数展开，就一定要规定区间。不谈区间的傅里叶级数展开都是耍流氓。因为这个傅里叶展开只在一个周期内是有效的。如果超出这个周期，就是周期性延拓了。
X
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
α
k
e
x
p
(
j
2
k
π
T
t
)
(Fourier Series)
t
∈
[
−
T
2
,
T
2
]
X(t) = \sum_{k=- \infty}^{+\infty} \alpha_k exp(j\frac{2k\pi}{T}t) \quad \text{ (Fourier Series)} \\ t \in [-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]
X(t)=k=−∞∑+∞αkexp(jT2kπt) (Fourier Series)t∈[−2T,2T]
我们对傅里叶级数展开具有两个认识
第一，傅里叶级数展开是一种正交展开，因为傅里叶级数的基是有正交性的。这种正交性一定是体现在某一个区间上的。在这个区间上，基函数正交。基函数的内积如下
1 T ∫ − T 2 T 2 e x p ( j 2 k π T t ) e x p ( − j 2 m π T t ) d t = δ k m \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} exp(j\frac{2k\pi}{T}t)exp(-j\frac{2m\pi}{T}t)dt = \delta_{km} T1∫−2T2Texp(jT2kπt)exp(−jT2mπt)dt=δkm
因为是正交的，这个展开的系数也非常好求，只要对傅里叶级数做内积，就能得到系数
α k = 1 T ∫ − T 2 T 2 X ( t ) e x p ( − j 2 k π T t ) d t \alpha_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} X(t)exp(-j\frac{2k\pi}{T}t)dt αk=T1∫−2T2TX(t)exp(−jT2kπt)dt
第二个认识，这里1/T有专门的说法，叫做基频。周期函数并非在每一个位置都有能量，只有在基频整数倍的位置上，才有能量，因此，周期函数谱，被称为离散谱
2 π T o r 1 T BaseBand Frequency Discrete Spectrum \frac{2\pi}{T}\quad or\quad \frac{1}{T} \text{ BaseBand Frequency} \\ \text{Discrete Spectrum} T2πorT1 BaseBand FrequencyDiscrete Spectrum
2.2 非周期信号的频谱
我们在周期信号的基础上，对我们的认识继续延伸
也就是从周期信号延伸到非周期信号。就是令T趋近于无穷大。一旦周期函数的周期趋近于无穷大，也就变成了非周期函数
我们来看一下，从周期函数变化到非周期函数，到底有哪些特性发生了变化
我们把周期信号的系数用积分的形式进行代入
P e r i o d i c → N o n − P e r i o d i c T → ∞ X ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ ( 1 T ∫ − T 2 + T 2 X ( s ) e x p ( − j 2 k π T s ) d s ) e x p ( j 2 k π T t ) [ − T 2 , − T 2 ] Periodic \rightarrow Non-Periodic \\ T \rightarrow \infty X(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} X(s)exp(-j\frac{2k\pi}{T}s)ds )exp(j\frac{2k\pi}{T}t) \quad\quad [-\frac{T}{2},-\frac{T}{2}] Periodic→Non−PeriodicT→∞X(t)=k=−∞∑+∞(T1∫−2T+2TX(s)exp(−jT2kπs)ds)exp(jT2kπt)[−2T,−2T]
我们可以对非周期函数的傅里叶级数展开进行变换
X ( t ) = 1 2 π ∑ k = − ∞ + ∞ ( ∫ − T 2 + T 2 X ( s ) e x p ( − j 2 k π T s ) d s ) e x p ( j 2 k π T t ) 2 π T [ − T 2 , − T 2 ] X(t) = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} X(s)exp(-j\frac{2k\pi}{T}s)ds )exp(j\frac{2k\pi}{T}t)\frac{2\pi}{T} \quad\quad [-\frac{T}{2},-\frac{T}{2}] X(t)=2π1k=−∞∑+∞(∫−2T+2TX(s)exp(−jT2kπs)ds)exp(jT2kπt)T2π[−2T,−2T]
在这个式子上，我们让T趋近于无穷大，也就是T的倒数趋近于0
这个式子，很容易让我们联想到积分和，事实上，此时，我们已经可以把式子写成积分的形式了,并且我们的积分函数和积分变量都有了一个新的表达
T → + ∞ X ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ Z ( ω ) e x p ( j ω t ) d ω T \rightarrow +\infty \\ X(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}Z(\omega) exp(j\omega t)d\omega T→+∞X(t)=2π1∫−∞+∞Z(ω)exp(jωt)dω
这就是我们大名鼎鼎的傅里叶变换
Fourier Transform { X ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ Z ( ω ) e x p ( j ω t ) d ω Z ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ X ( t ) e x p ( − j ω t ) d t \text{Fourier Transform} \begin{cases} X(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}Z(\omega) exp(j\omega t)d\omega\\ Z(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(t)exp(-j\omega t)dt \end{cases} Fourier Transform{X(t)=2π1∫−∞+∞Z(ω)exp(jωt)dωZ(ω)=∫−∞+∞X(t)exp(−jωt)dt
因此，对于非周期函数来说，仍然可以做某种展开，这种展开是连续的，也就是我们的积分。傅里叶变换可以看做是傅里叶级数展开的连续版本。因为我们仍然是以复指函数作为基函数进行展开的。差别在于，傅里叶变换中，已经不局限于某个区间进行展开了，因为区间就是整个实数域
傅里叶变换一定是在实数轴上进行展开的。同时，傅里叶变换的系数也不局限于某个基频的整数倍了，而是充满了整个实数轴
所以，这里形成的谱叫做连续谱，每一个频点上都有能量。这就是非周期函数，或者是一般函数的傅里叶分析
Continuous Spectrum \text{Continuous Spectrum} Continuous Spectrum
3. 随机信号的谱
3.1 随机信号做傅里叶分析的困难
在了解了确定信号的频谱分析之后，我们就要转移到随机信号的分析上了。假设，我们想把确定信号的谱分析工具，平行的搬移到随机信号的谱分析中去。
现在我们假设X(t)是随机信号。与确定信号相比，随机信号还是非常不同的。假如，我们想在随机信号上，重复确定性信号的傅里叶变换，这确实有一定的困难。主要困难在积分区间上，因为积分区间从有限区间到无限区间的变化，就需要考虑积分是否是收敛的。
如果傅里叶积分是收敛的，我们就要求他绝对可积
∫ ∣ X ( t ) ∣ d t < ∞ \int |X(t)| dt < \infty ∫∣X(t)∣dt<∞
绝对可积的这个条件，对于确定性信号很多时候是可以满足的，因为确定性信号在无穷远处会有衰减的趋势。虽然说有些确定性信号也不是绝对可积的，比如正弦信号，但是信号与系统中会引入冲激函数这样的广义函数，从而使得正弦信号能够做傅里叶变换。
c o s ( t ) → 1 2 ( δ ( ω − 1 ) + δ ( ω + 1 ) ) cos(t) \rightarrow \frac{1}{2}(\delta(\omega -1) +\delta(\omega+1)) cos(t)→21(δ(ω−1)+δ(ω+1))
但是随机信号往往不满足这个条件。比如有一大类随机信号，就是宽平稳随机过程。随机信号普遍具有这样的性质，就是不可能在无穷远处衰减，而是在不停的反复震荡。
就比如，宽平稳意味着两个时刻的相关，只和两个时刻的距离有关系，而和时间轴上的位置没有关系。如果在无穷远处信号有衰减，衰减前和衰减后的相关，是不可能一样的。
就比如我们之前接触过的振幅相位调制信号，是正弦信号；随机电报信号，是个随机的方波信号。都不具备收敛的特性，因此也不能够做到绝对可积。
因此宽平稳随机过程很多时候都不是绝对可积的
Z ( t ) Stochastic Wide-Sense Stationary ⇒ ∫ − ∞ + ∞ ∣ Z ( t ) ∣ d t < ∞ Z(t) \text{ Stochastic} \\ \text{Wide-Sense Stationary} \cancel \Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} |Z(t)|dt <\infty Z(t) StochasticWide-Sense Stationary⇒ ∫−∞+∞∣Z(t)∣dt<∞
这就使得我们在做傅里叶变换的时候会遇到很多的困难。人们证明，宽平稳随机过程，在很多信号的频点上都是发散的
因此，对于随机信号，如果我们想做傅里叶变换，我们的理论就不够牢靠。我们无法阻止积分的发散。我们也就无法定义和使用傅里叶变换
我们就一定要用新的方法来解决这个问题，通常来说解决的方法有两个
- 走向功率谱
- 走向谱表示
3.2 功率谱密度的物理和数学表示形式
事实上，如果我们还想对随机信号做傅里叶变换，我们就必须找到一个能够收敛的信号进行。一阶量肯定是没有办法考虑了。因此，我们把目标放到了二阶量上。我们知道，相关函数一般是衰减的，并且我们在前面也证明了相关函数在零点处达到最大。因为两个数据相隔的越远，相关的概率就会越低。因此，相关函数很适合用来做傅里叶变换，表征随机信号的谱。
在后面的计算中，我们会渐渐发现相关函数和功率谱之间的关系。
3.2.1 功率谱密度的物理表示
下面我们要用功率谱的手段去对随机信号的谱进行表示。在随机信号上，我们需要重新定义谱分析的工具
∫ − T 2 + T 2 Z ( t ) e x p ( − j ω t ) d t \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} Z(t)exp(-j\omega t)dt ∫−2T+2TZ(t)exp(−jωt)dt
上面的积分其实有点两不像。既不像非周期函数的傅里叶变换，因为积分域应该是无穷；也不像周期函数的傅里叶变换，因为那样的话ω是离散的。但是，我们还是以这个积分为基础，进行随机信号谱的描绘。
如果我们直接让T趋近于无穷大，会导致积分发散，我们需要做三步操作
第一步，求模取平方
∣
∫
−
T
2
+
T
2
Z
(
t
)
e
x
p
(
−
j
ω
t
)
d
t
∣
2
|\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} Z(t)exp(-j\omega t)dt|^2
∣∫−2T+2TZ(t)exp(−jωt)dt∣2
求模取平方之后，我们就把信号变成了能量。但是，这样做承受的损失是很大的，因为相位信息没有了
这里使用的谱分析工具就已经和傅里叶变换有区别了。求模取平方就变不回来了,因此变换不具有可逆性
第二步，我们求期望
求期望是因为这个积分具有随机性，我们希望消除这种随机性。
E ( ∣ ∫ − T 2 + T 2 Z ( t ) e x p ( − j ω t ) d t ∣ 2 ) E(|\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} Z(t)exp(-j\omega t)dt|^2) E(∣∫−2T+2TZ(t)exp(−jωt)dt∣2)
第三步，我们还要除以T，实现在时间上的归一化
1 T E ( ∣ ∫ − T 2 + T 2 Z ( t ) e x p ( − j ω t ) d t ∣ 2 ) \frac{1}{T}E(|\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} Z(t)exp(-j\omega t)dt|^2) T1E(∣∫−2T+2TZ(t)exp(−jωt)dt∣2)
然后我们再让T趋近于无穷，这样就定义出来了一个新的量，我们称之为功率谱密度
Power Spectral Density l i m T → ∞ 1 T E ( ∣ ∫ − T 2 + T 2 Z ( t ) e x p ( − j ω t ) d t ∣ 2 ) = S Z ( ω ) \text{Power Spectral Density} lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T}E(|\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} Z(t)exp(-j\omega t)dt|^2) = S_Z(\omega) Power Spectral DensitylimT→∞T1E(∣∫−2T+2TZ(t)exp(−jωt)dt∣2)=SZ(ω)
之所以叫谱，是因为这个公式与傅里叶级数和傅里叶变换具有一定的相似性。
为什么叫做功率，是因为我们做的是求模取平方的操作。
这样定义的功率谱只是一种定义方法，这是物理的定义方法
Physical S Z ( ω ) = l i m T → ∞ 1 T E ( ∣ ∫ − T 2 + T 2 Z ( t ) e x p ( − j ω t ) d t ∣ 2 ) \text{Physical} S_Z(\omega)=lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T}E(|\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} Z(t)exp(-j\omega t)dt|^2) PhysicalSZ(ω)=limT→∞T1E(∣∫−2T+2TZ(t)exp(−jωt)dt∣2)
3.2.2 功率谱密度的数学表示
其实物理形式的功率谱密度是非常的不直观的。因此，下面，我们想对物理形式的功率谱密度进行计算和变形，最终得到数学形式的功率谱密度
这个功率谱密度中有一个平方，对于复数来说，求平方就是复数与其共轭的积。
E ∣ ∫ − T 2 + T 2 Z ( t ) e x p ( − j ω t ) d t ∣ 2 = E ( ∫ − T 2 + T 2 Z ( t ) e x p ( − j ω t ) d t ) ( ∫ − T 2 + T 2 Z ( s ) ‾ e x p ( j ω t ) d s ) = ∫ − T 2 + T 2 ∫ − T 2 + T 2 E ( Z ( t ) Z ( s ) ‾ ) e x p ( − j ω ( t − s ) ) d t d s = ∫ − T 2 + T 2 ∫ − T 2 + T 2 R Z ( t − s ) e x p ( − j ω ( t − s ) ) d t d s E|\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} Z(t)exp(-j\omega t)dt|^2 \\ =E(\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} Z(t)exp(-j\omega t)dt)(\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} \overline{Z(s)}exp(j\omega t)ds) \\ =\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} E(Z(t)\overline{Z(s)})exp(-j\omega(t-s))dt ds \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} R_Z(t-s) exp(-j\omega(t-s))dt ds E∣∫−2T+2TZ(t)exp(−jωt)dt∣2=E(∫−2T+2TZ(t)exp(−jωt)dt)(∫−2T+2TZ(s)exp(jωt)ds)=∫−2T+2T∫−2T+2TE(Z(t)Z(s))exp(−jω(t−s))dtds=∫−2T+2T∫−2T+2TRZ(t−s)exp(−jω(t−s))dtds
因为一般来说，如果不做特殊说明，相关函数都是实的，但是这里我们用了复相关函数的符号进行计算。因为我们假设他是宽平稳的，这个里面的期望是可以写成相关函数的。
下面我们要做积分换元了。积分换元一般有三个步骤
- 旧元变新元
- 把雅克比行列式计算清楚
- 更换积分域
第一步，换元
Let u = t − s Let v = t + s \text{Let } u = t-s \\ \text{Let } v = t+s Let u=t−sLet v=t+s
第二步，计算雅克比行列式
d t d s → d u d v d t d s = ∣ d e t ( ∂ ( t , s ) ∂ ( u , v ) ) ∣ d u d v dtds \rightarrow du dv \\ dtds = |det(\frac{\partial(t,s)}{\partial(u,v)})|du dv dtds→dudvdtds=∣det(∂(u,v)∂(t,s))∣dudv
因为我们现在函数的表示形式是用t和s表示u和v，因此计算u和v对t和s的偏导数更加方便，因此我们要对雅克比行列式进行变形
( ∂ ( t , s ) ∂ ( u , v ) ) = ( ∂ ( u , v ) ∂ ( t , s ) ) ) − 1 (\frac{\partial(t,s)}{\partial(u,v)}) = (\frac{\partial(u,v)}{\partial(t,s))})^{-1} (∂(u,v)∂(t,s))=(∂(t,s))∂(u,v))−1
在计算行列式的时候，结果就是倒数关系
( ∂ ( u , v ) ∂ ( t , s ) ) ) = ( ∂ u ∂ t ∂ u ∂ s ∂ v ∂ t ∂ v ∂ s ) = ( 1 − 1 1 1 ) d e t ∣ ( ∂ ( u , v ) ∂ ( t , s ) ) ) ∣ = 2 (\frac{\partial(u,v)}{\partial(t,s))}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial t} & \frac{\partial u}{\partial s}\\ \\ \frac{\partial v}{\partial t} & \frac{\partial v}{\partial s} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} det |(\frac{\partial(u,v)}{\partial(t,s))})| = 2 (∂(t,s))∂(u,v))=⎝⎛∂t∂u∂t∂v∂s∂u∂s∂v⎠⎞=(11−11)det∣(∂(t,s))∂(u,v))∣=2
因此
∣ d e t ( ∂ ( t , s ) ∂ ( u , v ) ) ∣ = 1 2 |det(\frac{\partial(t,s)}{\partial(u,v)})| = \frac{1}{2} ∣det(∂(u,v)∂(t,s))∣=21
d t d s = 1 2 d u d v dtds = \frac{1}{2} du dv dtds=21dudv
R Z ( t − s ) e x p ( − j ω ( t − s ) ) d t d s ⇒ R Z ( u ) e x p ( − j ω u ) 1 2 d u d v R_Z(t-s) exp(-j\omega(t-s))dt ds \Rightarrow R_Z(u) exp(-j\omega u) \frac{1}{2} du dv RZ(t−s)exp(−jω(t−s))dtds⇒RZ(u)exp(−jωu)21dudv
第三步，积分域变换
因为我们换元做的是一个线性变换，因此积分域大致形状还是四边形，我们只要找到四个顶点就可以
( 0 , T ) , ( − T , 0 ) , ( 0 , − T ) , ( T , 0 ) (0,T),(-T,0),(0,-T),(T,0) (0,T),(−T,0),(0,−T),(T,0)
E ∣ ∫ − T 2 + T 2 Z ( t ) e x p ( − j ω t ) d t ∣ 2 = ∫ − T 2 + T 2 ∫ − T 2 + T 2 R Z ( t − s ) e x p ( − j ω ( t − s ) ) d t d s = ( ∫ − T 0 ∫ − T − u T + u + ∫ 0 T ∫ u − T u + T ) R Z ( u ) e x p ( − j u ω ) 1 2 d u d v = ∫ − T T ∫ − T + ∣ u ∣ − ∣ u ∣ + T R Z ( u ) e x p ( − j u ω ) 1 2 d u d v = ∫ − T T ( T − ∣ u ∣ ) R Z ( u ) e x p ( − j ω u ) d u E|\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} Z(t)exp(-j\omega t)dt|^2 \\ = \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} R_Z(t-s) exp(-j\omega(t-s))dt ds \\ =(\int_{-T}^0 \int_{-T-u}^{T+u} +\int_{0}^T \int_{u-T}^{u+T})R_Z(u) exp(-ju \omega) \frac{1}{2} du dv \\ = \int_{-T}^T \int_{-T+|u|}^{-|u|+T} R_Z(u) exp(-ju \omega) \frac{1}{2} du dv \\ = \int_{-T}^T (T-|u|) R_Z(u) exp(-j\omega u)du \\ E∣∫−2T+2TZ(t)exp(−jωt)dt∣2=∫−2T+2T∫−2T+2TRZ(t−s)exp(−jω(t−s))dtds=(∫−T0∫−T−uT+u+∫0T∫u−Tu+T)RZ(u)exp(−juω)21dudv=∫−TT∫−T+∣u∣−∣u∣+TRZ(u)exp(−juω)21dudv=∫−TT(T−∣u∣)RZ(u)exp(−jωu)du
因此，我们可以得到一个相关函数傅里叶变换的形式，这个表达式叫做功率谱密度，也可以简称叫做功率谱
PSD ⇒ Power Spectral Density S Z ( ω ) = l i m T → ∞ 1 T E ( ∣ ∫ − T 2 + T 2 Z ( t ) e x p ( − j ω t ) d t ∣ 2 ) = l i m T → ∞ 1 T ∫ − T T ( T − ∣ u ∣ ) R Z ( u ) e x p ( − j ω u ) d u = l i m T → ∞ ∫ − T T ( 1 − ∣ u ∣ T ) R Z ( u ) e x p ( − j ω u ) d u = ∫ − ∞ + ∞ R Z ( u ) e x p ( − j ω u ) d u \text{PSD} \Rightarrow \text{ Power Spectral Density} S_Z(\omega)=lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T}E(|\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} Z(t)exp(-j\omega t)dt|^2) \\ =lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T}^T (T-|u|) R_Z(u) exp(-j\omega u)du \\ =lim_{T\rightarrow \infty} \int_{-T}^T (1-\frac{|u|}{T}) R_Z(u) exp(-j\omega u)du \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} R_Z(u) exp(-j\omega u)du PSD⇒ Power Spectral DensitySZ(ω)=limT→∞T1E(∣∫−2T+2TZ(t)exp(−jωt)dt∣2)=limT→∞T1∫−TT(T−∣u∣)RZ(u)exp(−jωu)du=limT→∞∫−TT(1−T∣u∣)RZ(u)exp(−jωu)du=∫−∞+∞RZ(u)exp(−jωu)du
然后我们就可以得到功率谱密度和相关函数是一个傅里叶变换对。这个关系叫做
w
i
e
n
e
r
−
K
h
i
n
c
h
i
n
wiener-Khinchin
wiener−Khinchin
功率谱密度的这种描述方式，相比于物理的描述，更加数学化。因此这个称为功率谱密度的数学描述
Mathematical \text{Mathematical} Mathematical
至此，我们得到了随机信号谱分析的有效工具。就是功率谱密度与相关函数，他们是傅里叶变换对
S Z ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ R Z ( τ ) e x p ( − j ω τ ) d τ R Z ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) e x p ( j ω τ ) d ω S_Z (\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_Z(\tau) exp(-j\omega \tau)d \tau \\ R_Z(\tau) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_Z(\omega) exp(j\omega \tau)d\omega SZ(ω)=∫−∞+∞RZ(τ)exp(−jωτ)dτRZ(τ)=2π1∫−∞+∞SZ(ω)exp(jωτ)dω
3.3 功率谱密度的解读
3.3.1 量纲分析
首先，我们要讨论一下为什么功率谱密度表示的是能量。也就是我们要进行量纲分析。可以有两种解读的方法
一方面，我们从物理描述出发
Physical S Z ( ω ) = l i m T → ∞ 1 T E ( ∣ ∫ − T 2 + T 2 Z ( t ) e x p ( − j ω t ) d t ∣ 2 ) \text{Physical} S_Z(\omega)=lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T}E(|\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} Z(t)exp(-j\omega t)dt|^2) PhysicalSZ(ω)=limT→∞T1E(∣∫−2T+2TZ(t)exp(−jωt)dt∣2)
因为信号的量纲不是电流就是电压，我们假设是电流。复指函数没有量纲，积分的量纲是时间，积分就是(I*t)2，然后1/T去掉一个t，就得到了焦耳的单位I2T
另外一方面，我们从数学描述出发
R Z ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) e x p ( j ω τ ) d ω R_Z(\tau) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_Z(\omega) exp(j\omega \tau)d\omega RZ(τ)=2π1∫−∞+∞SZ(ω)exp(jωτ)dω
令u为0
R Z ( 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) d ω R_Z(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} S_Z(\omega)d\omega RZ(0)=∫−∞+∞SZ(ω)dω
因此，功率谱沿着实轴的积分是相关函数在零点的取值。而相关函数在零点的取值表示的是功率
R Z ( 0 ) = E ( ∣ Z ( t ) ∣ 2 ) R_Z(0) = E(|Z(t)|^2) RZ(0)=E(∣Z(t)∣2)
功率谱沿着频率积分得到的是功率，因此功率谱的量纲就是功率除以频率，也就是功率乘以时间，得到的量纲就是能量。
3.3.2 谱
下面说一下谱。谱有两个构成要素，包括要研究的对象和分解的轴。功率谱研究的对象是功率。轴是频率。反应的就是一个随机过程在每一个频点处的功率的大小。
3.3.3 密度
这里要解释一下它为什么要叫做功率谱密度。功率和谱的说明前面已经提到了，这里说一下密度的概念
对于反傅里叶变换的形式，如果我们取相关函数在0点的值，可以得到
2 π R Z ( 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) d ω 1 = ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) d ω 2 π R Z ( 0 ) 2\pi R_Z(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} S_Z(\omega) d\omega \\ 1 = \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} S_Z(\omega) d\omega}{2\pi R_Z(0)} 2πRZ(0)=∫−∞+∞SZ(ω)dω1=2πRZ(0)∫−∞+∞SZ(ω)dω
我们可以看到功率谱密度的积分其实是一个常数，并且得到归一化以后，积分值就是1。同时功率谱密度是一个大于0的数字，这个性质非常像概率密度，因此把这个就叫做功率谱密度
3.3.4 wiener和khinchin
刚才介绍过，相关函数和功率谱密度的关系被称为wiener-khinchine关系，然后我们可以稍微说一下这两个人。
N.Wiener控制之父,美国人。维纳写了一本书叫控制论。值得读一读英文版
Khinchine排队论之父，苏联人。
3.4 功率谱密度的性质
3.4.1 非线性
功率谱密度是个二阶量，因此是非线性的
- 一个信号乘以某个系数得到的功率谱，是原来功率谱乘以系数的平方
S α Z ( ω ) = ∣ α ∣ 2 S Z ( ω ) S_{\alpha Z}(\omega) = |\alpha|^2 S_Z(\omega) SαZ(ω)=∣α∣2SZ(ω)
- 两个信号和的功率谱密度不等于两个信号功率谱密度的和
S Z + Y ( ω ) = S Z ( ω ) + S Y ( ω ) S_{Z+Y}(\omega) \cancel = S_Z(\omega) + S_Y(\omega) SZ+Y(ω)= SZ(ω)+SY(ω)
3.4.2 偶函数
实信号的功率谱是对称的。因此功率谱密度在实数上是偶函数
S Z ( ω ) = S Z ( − ω ) S_Z(\omega) = S_Z(-\omega) SZ(ω)=SZ(−ω)
实信号是没有负频率这一说的，负频率是正频率的镜像。但是，复信号负轴和正轴可以不一样，可以有信息。因为复数本来在现实中就是没有的，实信号是有实际意义的
我们可以来证明一下这个性质
S Z ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ R Z ( τ ) e x p ( − j ω τ ) d τ = ∫ − ∞ + ∞ R Z ( τ ) c o s ( ω τ ) d τ − j ∫ − ∞ + ∞ R Z ( τ ) s i n ( ω τ ) d τ S_Z(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_Z(\tau) exp(-j\omega \tau) d\tau \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} R_Z(\tau) cos(\omega \tau) d\tau - j \int_{-\infty}^{+\infty} R_Z(\tau) sin(\omega \tau) d\tau SZ(ω)=∫−∞+∞RZ(τ)exp(−jωτ)dτ=∫−∞+∞RZ(τ)cos(ωτ)dτ−j∫−∞+∞RZ(τ)sin(ωτ)dτ
我们知道，宽平稳随机过程的相关函数是偶函数，因此，前一半积分是偶函数，后一半积分是奇函数。但是由于积分区间是对称的，奇函数在对称区间的积分是0，因此，功率谱密度又可以简化为
S Z ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ R Z ( τ ) c o s ( ω τ ) d τ S_Z(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_Z(\tau) cos(\omega \tau) d\tau SZ(ω)=∫−∞+∞RZ(τ)cos(ωτ)dτ
能够证明宽平稳随机过程的功率谱是偶函数。不过，从物理定义中也是能够看出来的，我们只是用数学定义进行了证明而已。
3.5 wiener-khinchin关系的应用
在相关中，有一个不等式，我们可以利用wiener-khinchin关系进行证明
R Z ( 0 ) − R Z ( τ ) ≥ 1 4 ( R Z ( 0 ) − R Z ( 2 τ ) ) R_Z(0) - R_Z(\tau) \geq \frac{1}{4}(R_Z(0) - R_Z(2 \tau)) RZ(0)−RZ(τ)≥41(RZ(0)−RZ(2τ))
这个式子可以令2t代替t继续进行延拓
R Z ( 0 ) − R Z ( τ ) ≥ 1 4 n ( R Z ( 0 ) − R Z ( 2 n τ ) ) R_Z(0) - R_Z(\tau) \geq \frac{1}{4^n}(R_Z(0) - R_Z(2^n \tau)) RZ(0)−RZ(τ)≥4n1(RZ(0)−RZ(2nτ))
一种证明方法可以使用上节课学习的正定性的定义式，采用待定系数的方法进行证明。我们就证明一阶的
R Z ( 0 ) − R Z ( τ ) ≥ 1 4 ( R Z ( 0 ) − R Z ( 2 τ ) ) ⇒ 4 ( R Z ( 0 ) − R Z ( τ ) ) ≥ R Z ( 0 ) − R Z ( 2 τ ) ⇒ 3 R Z ( 0 ) − 4 R Z ( τ ) + R Z ( 2 τ ) ≥ 0 R_Z(0) - R_Z(\tau) \geq \frac{1}{4}(R_Z(0) - R_Z(2 \tau)) \\ \Rightarrow 4(R_Z(0) - R_Z(\tau))\geq R_Z(0) - R_Z(2 \tau) \\ \Rightarrow 3 R_Z(0) - 4R_Z(\tau) + R_Z(2 \tau) \geq 0 RZ(0)−RZ(τ)≥41(RZ(0)−RZ(2τ))⇒4(RZ(0)−RZ(τ))≥RZ(0)−RZ(2τ)⇒3RZ(0)−4RZ(τ)+RZ(2τ)≥0
由于相关函数是正定的，我们可以做三阶的展开
( x y z ) ∗ ( R Z ( 0 ) R Z ( τ ) R Z ( 2 τ ) R Z ( τ ) R Z ( 0 ) R Z ( 2 τ ) R Z ( 2 τ ) R Z ( τ ) R Z ( 0 ) ) ∗ ( x y z ) ≥ 0 \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} R_Z(0) & R_Z(\tau) & R_Z(2\tau) \\ R_Z(\tau) & R_Z(0) & R_Z(2\tau) \\ R_Z(2\tau) & R_Z(\tau) & R_Z(0) \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \geq 0 (xyz)∗⎝⎛RZ(0)RZ(τ)RZ(2τ)RZ(τ)RZ(0)RZ(τ)RZ(2τ)RZ(2τ)RZ(0)⎠⎞∗⎝⎛xyz⎠⎞≥0
这个二次型一定可以展开为
f 1 ( x , y , z ) R Z ( 0 ) + f 2 ( x , y , z ) R Z ( τ ) + f 3 ( x , y , z ) R Z ( 3 τ ) ≥ 0 f_1(x,y,z) R_Z(0) + f_2(x,y,z) R_Z(\tau) +f_3(x,y,z)R_Z(3 \tau) \geq 0 f1(x,y,z)RZ(0)+f2(x,y,z)RZ(τ)+f3(x,y,z)RZ(3τ)≥0
因此，我们只需要解
{ f 1 ( x , y , z ) = 3 f 2 ( x , y , z ) = − 4 f 3 ( x , y , z ) = 1 \begin{cases} f_1(x,y,z) =3 \\ f_2(x,y,z) =-4 \\ f_3(x,y,z) =1 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧f1(x,y,z)=3f2(x,y,z)=−4f3(x,y,z)=1
但是这个方程都是高阶的，不好解，我们还有更好的方法。我们把相关函数用wiener-khinchin关系进行表示
R Z ( 0 ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) d ω R Z ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) e x p ( j ω τ ) d ω R Z ( 2 τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) e x p ( 2 j ω τ ) d ω R_Z(0) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_Z(\omega) d \omega \\ R_Z(\tau) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_Z(\omega)exp(j \omega \tau) d \omega \\ R_Z(2\tau) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_Z(\omega)exp(2j \omega \tau) d \omega RZ(0)=2π1∫−∞+∞SZ(ω)dωRZ(τ)=2π1∫−∞+∞SZ(ω)exp(jωτ)dωRZ(2τ)=2π1∫−∞+∞SZ(ω)exp(2jωτ)dω
代入关系式
3 R Z ( 0 ) − 4 R Z ( τ ) + R Z ( 2 τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) ( 3 − 4 e x p ( j ω τ ) + e x p ( 2 j ω τ ) ) d ω 3R_Z(0) - 4R_Z(\tau) + R_Z(2 \tau) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_Z(\omega)(3-4exp(j \omega \tau)+exp(2j \omega \tau)) d \omega 3RZ(0)−4RZ(τ)+RZ(2τ)=2π1∫−∞+∞SZ(ω)(3−4exp(jωτ)+exp(2jωτ))dω
由于傅里叶变换中奇函数的部分是0，因此上式可以继续表示为
3 R Z ( 0 ) − 4 R Z ( τ ) + R Z ( 2 τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) ( 3 − 4 c o s ( ω τ ) + c o s ( 2 ω τ ) ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) ( 3 − 4 c o s ( ω τ ) + 2 c o s 2 ( ω τ ) − 1 ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) [ 2 ( c o s ( ω τ ) − 1 ) 2 ] d ω ≥ 0 3R_Z(0) - 4R_Z(\tau) + R_Z(2 \tau) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_Z(\omega)(3-4cos(\omega \tau)+cos(2 \omega \tau)) d \omega \\ = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_Z(\omega)(3-4cos(\omega \tau)+2cos^2(\omega \tau)-1) d \omega \\ = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_Z(\omega)[2(cos(\omega \tau)-1)^2] d \omega \geq 0 3RZ(0)−4RZ(τ)+RZ(2τ)=2π1∫−∞+∞SZ(ω)(3−4cos(ωτ)+cos(2ωτ))dω=2π1∫−∞+∞SZ(ω)(3−4cos(ωτ)+2cos2(ωτ)−1)dω=2π1∫−∞+∞SZ(ω)[2(cos(ωτ)−1)2]dω≥0
因此，这个式子一定是非负的
3.6 功率谱密度与线性变换
现在，我们想知道，随机过程通过线性时不变系统，功率谱输出会有怎样的结果。
3.6.1 确定信号
如果是确定信号Z通过线性时不变系统，时域的变化是与线性系统冲激响应的卷积。频域的变化是与传递函数的乘积
Z ( t ) d e t e r m i n i s t i c Z ( t ) → H Y ( t ) → Z(t) \quad deterministic \underrightarrow{Z(t)} \quad \boxed H \quad \underrightarrow{Y(t)} \\ Z(t)deterministic Z(t)H Y(t)
时域
Y ( t ) = ( h ∗ Z ) ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( t − τ ) Z ( τ ) d τ Y(t) = (h*Z)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t - \tau) Z(\tau) d \tau Y(t)=(h∗Z)(t)=∫−∞+∞h(t−τ)Z(τ)dτ
频域
Y ( ω ) = Z ( ω ) H ( ω ) Y(\omega)=Z(\omega) H(\omega) Y(ω)=Z(ω)H(ω)
我们知道冲激响应和传递函数之间的傅里叶变换对的关系
h ( t ) F ↔ H ( ω ) h(t) \quad \underleftrightarrow{F} \quad H(\omega) h(t) FH(ω)
3.6.2 随机信号
如果是随机信号，我们首先要从相关开始考察。看看两个信号，通过线性时不变系统之后得到的信号的相关与原来有何差异。
先来看看时域
R Y ( t , s ) = E ( Y ( t ) Y ( s ) ‾ ) = E ( ∫ − ∞ + ∞ h ( t − τ ) Z ( τ ) d τ ∫ − ∞ + ∞ h ( s − r ) Z ( r ) d r ‾ ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ R Z ( τ − r ) h ( t − τ ) h ( s − r ) ‾ d τ d r R_Y(t,s) = E(Y(t) \overline{Y(s)}) = E(\int _{-\infty}^{+ \infty}h(t-\tau)Z(\tau)d\tau \overline{\int_{-\infty}^{+\infty}h(s-r)Z(r)dr}) \\ = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_Z(\tau-r)h(t-\tau)\overline{h(s-r)}d\tau dr RY(t,s)=E(Y(t)Y(s))=E(∫−∞+∞h(t−τ)Z(τ)dτ∫−∞+∞h(s−r)Z(r)dr)=∫−∞+∞∫−∞+∞RZ(τ−r)h(t−τ)h(s−r)dτdr
我们来观察一下，得到的这个结果是否是个卷积。
这里介绍对待卷积的两个技巧
- 被积函数自变量加在一起能够把积分变量消掉，如果能，就是个卷积
- 卷积得到的是一个函数，不是一个值。卷积函数的自变量就是所有被积函数自变量得到的和
我们通过分析，可以发现这个不是个卷积,因为被积函数的自变量相交不能把积分变量消掉。但是，如果第三个式子变个号，就可以，因此，我们引入一个中间函数，把相关函数变成卷积
L e t h ~ ( t ) = h ( − t ) ‾ Let \quad \widetilde h(t) = \overline{h(-t)} Leth (t)=h(−t)
R Y ( t , s ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ R Z ( τ − r ) h ( t − τ ) h ( s − r ) ‾ d τ d r = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ R Z ( τ − r ) h ( t − τ ) h ~ ( r − s ) d τ d r R_Y(t,s) =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_Z(\tau-r)h(t-\tau)\overline{h(s-r)}d\tau dr \\ = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_Z(\tau-r)h(t-\tau)\widetilde h(r-s)d\tau dr RY(t,s)=∫−∞+∞∫−∞+∞RZ(τ−r)h(t−τ)h(s−r)dτdr=∫−∞+∞∫−∞+∞RZ(τ−r)h(t−τ)h (r−s)dτdr
我们发现
τ − r + t − τ + r − s = t − s \tau -r +t - \tau + r-s = t-s τ−r+t−τ+r−s=t−s
因此得到的是一个卷积的关系
R Y ( t , s ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ R Z ( τ − r ) h ( t − τ ) h ~ ( r − s ) d τ d r = ( R Z ⊛ h ⊛ h ~ ) ( t − s ) R_Y(t,s) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}R_Z(\tau-r)h(t-\tau)\widetilde h(r-s)d\tau dr \\ =(R_Z \circledast h \circledast \widetilde h)(t-s) RY(t,s)=∫−∞+∞∫−∞+∞RZ(τ−r)h(t−τ)h (r−s)dτdr=(RZ⊛h⊛h )(t−s)
在这里，我们得到一个结论，宽平稳随机过程通过一个线性系统得到的输出，仍然是宽平稳的
然后我们要继续分析频域上的变化，也就是功率谱密度的变化
如果我们对相关函数做傅里叶变换，得到的就是功率谱密度。
S Y ( ω ) = F ( R Y ( τ ) ) = S Z ( ω ) H ( ω ) H ~ ( ω ) S_Y(\omega) = \mathscr{F}(R_Y(\tau)) \\ =S_Z(\omega) H(\omega) \widetilde H(\omega) \\ SY(ω)=F(RY(τ))=SZ(ω)H(ω)H (ω)
两个传递函数之间是共轭关系
H ~ ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ h ~ ( t ) e x p ( − j ω t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ h ( − t ) ‾ e x p ( − j ω t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ h ( t ) ‾ e x p ( j ω t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ h ( t ) e x p ( − j ω t ) d t ‾ = H ( ω ) ‾ \widetilde H(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} \widetilde h(t) exp(-j\omega t)dt \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{h(-t)} exp(-j\omega t)dt \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{h(t)} exp(j\omega t)dt \\ =\overline{\int_{-\infty}^{+\infty} h(t) exp(-j\omega t)dt} = \overline{H(\omega)} H (ω)=∫−∞+∞h (t)exp(−jωt)dt=∫−∞+∞h(−t)exp(−jωt)dt=∫−∞+∞h(t)exp(jωt)dt=∫−∞+∞h(t)exp(−jωt)dt=H(ω)
因此，我们可以得到
S Y ( ω ) = F ( R Y ( τ ) ) = S Z ( ω ) H ( ω ) H ~ ( ω ) = S Z ( ω ) H ( ω ) H ( ω ) ‾ = S Z ( ω ) ∣ H ( ω ) ∣ 2 S_Y(\omega) = \mathscr{F}(R_Y(\tau)) \\ =S_Z(\omega) H(\omega) \widetilde H(\omega) \\ = S_Z(\omega) H(\omega) \overline{ H(\omega)} \\ =S_Z(\omega)|H(\omega)|^2 SY(ω)=F(RY(τ))=SZ(ω)H(ω)H (ω)=SZ(ω)H(ω)H(ω)=SZ(ω)∣H(ω)∣2
3.6.3 小结
就此，我们得到了随机过程频域分析中两个非常重要的结论
- 相关函数和功率谱密度互为傅里叶变换
R Z ( τ ) F ↔ S Z ( ω ) R_Z(\tau) \quad \underleftrightarrow{F} \quad S_Z(\omega) RZ(τ) FSZ(ω)
- 随机信号通过线性时不变系统，功率谱密度会乘以传递函数模的平方
Z ( t ) → H Y ( t ) → \underrightarrow{Z(t)} \quad \boxed H \quad \underrightarrow{Y(t)} \\ Z(t)H Y(t)
S Y ( ω ) = S Z ( ω ) ∣ H ( ω ) ∣ 2 S_Y(\omega) = S_Z(\omega)|H(\omega)|^2 SY(ω)=SZ(ω)∣H(ω)∣2
3.7 柯西不等式与功率谱
我们会看一些相关函数的柯西不等式
∣ E ( Z ( t ) Y ( t ) ) ∣ ≤ ( E ( Z 2 ( t ) ) E ( Y 2 ( t ) ) ) 1 2 ∣ R Z Y ( 0 ) ∣ ≤ ( R Z ( 0 ) R Y ( 0 ) ) 1 2 |E(Z(t)Y(t)) | \leq (E(Z^2(t))E(Y^2(t)))^{\frac{1}{2}} \\ |R_{ZY}(0)| \leq (R_Z(0) R_Y(0))^{\frac{1}{2}} ∣E(Z(t)Y(t))∣≤(E(Z2(t))E(Y2(t)))21∣RZY(0)∣≤(RZ(0)RY(0))21
用功率谱继续表示
∣ ∫ − ∞ + ∞ S Z Y ( ω ) d ω ∣ ≤ ( ∫ − ∞ + ∞ S Z ( ω ) d ω ∫ − ∞ + ∞ S Y ( ω ) d ω ) ) 1 2 |\int_{-\infty}^{+\infty} S_{ZY}(\omega) d\omega| \leq (\int_{-\infty}^{+\infty} S_{Z}(\omega) d\omega\int_{-\infty}^{+\infty} S_{Y}(\omega) d\omega))^{\frac{1}{2}} ∣∫−∞+∞SZY(ω)dω∣≤(∫−∞+∞SZ(ω)dω∫−∞+∞SY(ω)dω))21
这个式子对任意区间成立
∣
∫
a
b
S
Z
Y
(
ω
)
d
ω
∣
≤
(
∫
a
b
S
Z
(
ω
)
d
ω
∫
a
b
S
Y
(
ω
)
d
ω
)
)
1
2
|\int_{a}^{b} S_{ZY}(\omega) d\omega| \leq (\int_{a}^{b} S_{Z}(\omega) d\omega\int_{a}^{b} S_{Y}(\omega) d\omega))^{\frac{1}{2}}
∣∫abSZY(ω)dω∣≤(∫abSZ(ω)dω∫abSY(ω)dω))21
原因是，我们可以看做原来的信号通过一个带通滤波器以后得到的结果
∣
∫
−
∞
+
∞
∣
H
(
ω
)
∣
2
S
Z
Y
(
ω
)
d
ω
∣
≤
(
∫
−
∞
+
∞
∣
H
(
ω
)
∣
2
S
Z
(
ω
)
d
ω
∫
−
∞
+
∞
∣
H
(
ω
)
∣
2
S
Y
(
ω
)
d
ω
)
)
1
2
⇒
∣
∫
a
b
S
Z
Y
(
ω
)
d
ω
∣
≤
(
∫
a
b
S
Z
(
ω
)
d
ω
∫
a
b
S
Y
(
ω
)
d
ω
)
)
1
2
|\int_{-\infty}^{+\infty} |H(\omega)|^2S_{ZY}(\omega) d\omega| \leq (\int_{-\infty}^{+\infty} |H(\omega)|^2S_{Z}(\omega) d\omega\int_{-\infty}^{+\infty} |H(\omega)|^2S_{Y}(\omega) d\omega))^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow |\int_{a}^{b} S_{ZY}(\omega) d\omega| \leq (\int_{a}^{b} S_{Z}(\omega) d\omega\int_{a}^{b} S_{Y}(\omega) d\omega))^{\frac{1}{2}}
∣∫−∞+∞∣H(ω)∣2SZY(ω)dω∣≤(∫−∞+∞∣H(ω)∣2SZ(ω)dω∫−∞+∞∣H(ω)∣2SY(ω)dω))21⇒∣∫abSZY(ω)dω∣≤(∫abSZ(ω)dω∫abSY(ω)dω))21
其中
H ( ω ) = { 1 ω ∈ [ a , b ] 0 others H(\omega) = \begin{cases} 1 & \omega \in [a,b] \\ 0 & \text{others} \end{cases} H(ω)={10ω∈[a,b]others