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题意

一个人在数轴上来回走，以pi的概率走i步i∈[1, m]，给定n（数轴长度），m，e（终点），s（起点），d（方向），求从s走到e经过的点数期望

分析

设E[x]是人从x走到e经过点数的期望值，显然对于终点有：E[e] = 0

一般的：$$E[x] = \sum_i^m((E[x+i]+i) * p[i])$$

(走i步经过i个点，所以是E[x+i]+i)

建立模型：高斯消元每个变量都是一个互不相同的独立的状态，由于人站在一个点，还有一个状态是方向！例如人站在x点，有两种状态向前、向后，不能都当成一种状态建立方程，所以要把两个方向化为一个方向从而使状态不受方向的影响

实现：

n个点翻过去（除了头尾两个点~~~）变为2*(n-1)个点，例如：

\(6个点：012345 -> 0123454321\)

那么显然，从5开始向右走其实就是相当于往回走

然后方向就由两个状态转化成一个状态的，然后每个点就是只有一种状态了，对每个点建立方程高斯消元即可

bfs判断是否可以到达终点，顺便建立方程

参考KIDx的解题报告

trick

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define M 205

#define eps 1e-8

int equ, var;

double a[M][M], x[M];  

int Gauss ()

{

    int i, j, k, col, max_r;

    for (k = 0, col = 0; k < equ && col < var; k++, col++)

    {

        max_r = k;

        for (i = k+1; i < equ; i++)

            if (fabs (a[i][col]) > fabs (a[max_r][col]))

                max_r = i;

        if (k != max_r)

        {

            for (j = col; j < var; j++)

                swap (a[k][j], a[max_r][j]);

            swap (x[k], x[max_r]);

        }

        x[k] /= a[k][col];

        for (j = col+1; j < var; j++) a[k][j] /= a[k][col];

        a[k][col] = 1;

        for (i = 0; i < equ; i++) if (i != k)

        {

            x[i] -= x[k] * a[i][k];

            for (j = col+1; j < var; j++) a[i][j] -= a[k][j] * a[i][col];

            a[i][col] = 0;

        }

    }

    return 1;

}  

//has[x]表示人在x点时的变量号，因为我们只用可达状态建立方程，所以需要编号

int has[M], vis[M], k, e, n, m;

double p[M], sum;  

int bfs (int u)

{

    memset (has, -1, sizeof(has));

    memset (a, 0, sizeof(a));           //忘记初始化WA勒，以后得注意

    memset (vis, 0, sizeof(vis));

    int v, i, flg = 0;

    queue<int> q;

    q.push (u);

    k = 0;

    has[u] = k++;

    while (!q.empty ())

    {

        u = q.front ();

        q.pop ();

        if (vis[u]) continue;

        vis[u] = 1;

        if (u == e || u == n-e)     //终点有两个，你懂的~

        {

            a[has[u]][has[u]] = 1;

            x[has[u]] = 0;

            flg = 1;

            continue;

        }

        //E[x] = sum ((E[x+i]+i) * p[i])

        // ----> E[x] - sum(p[i]*E[x+i]) = sum(i*p[i])

        a[has[u]][has[u]] = 1;

        x[has[u]] = sum;

        for (i = 1; i <= m; i++)

        {

            //非常重要！概率为0，该状态可能无法到达，如果还去访问并建立方程会导致无解

            if (fabs (p[i]) < eps) continue;

            v = (u + i) % n;

            if (has[v] == -1) has[v] = k++;

            a[has[u]][has[v]] -= p[i];

            q.push (v);

        }

    }

    return flg;

}  

int main()

{

    int t, s, d, i;

    scanf ("%d", &t);

    while (t--)

    {

        scanf ("%d%d%d%d%d", &n, &m, &e, &s, &d);

        n = 2*(n-1);

        sum = 0;

        for (i = 1; i <= m; i++)

        {

            scanf ("%lf", p+i);

            p[i] = p[i] / 100;

            sum += p[i] * i;

        }

        if (s == e)

        {

            puts ("0.00");

            continue;

        }

        //一开始向左，起点要变

        if (d > 0) s = (n - s) % n;

        if (!bfs (s))

        {

            puts ("Impossible !");

            continue;

        }

        equ = var = k;

        Gauss ();

        printf ("%.2f\n", x[has[s]]);

    }

    return 0;

}