文章目录
一、引言
1.1 记号
导数
u
x
i
=
∂
u
∂
x
i
,
u
x
i
,
x
j
=
∂
2
u
∂
x
i
∂
x
j
u_{x_i}=\frac{\partial u}{\partial x_i},u_{x_i,x_j}=\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}
uxi=∂xi∂u,uxi,xj=∂xi∂xj∂2u
梯度
D
u
=
∇
u
=
(
∂
∂
x
1
,
⋯
,
∂
∂
x
n
)
⋅
u
Du=\nabla u=\left(\frac{\partial}{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial}{\partial x_n}\right)\cdot u
Du=∇u=(∂x1∂,⋯,∂xn∂)⋅u
Hessian矩阵
D
2
u
=
[
u
x
i
,
x
j
]
n
×
n
D^2 u=\left[ u_{x_i,x_j} \right]_{n\times n}
D2u=[uxi,xj]n×n
Laplace算子
Δ
u
=
∇
2
u
=
∑
i
u
x
i
,
x
i
\Delta u=\nabla^2u=\sum_i u_{x_i,x_i}
Δu=∇2u=∑iuxi,xi
1.2 方程
u
t
−
Δ
u
=
f
(
x
,
t
)
u_t-\Delta u=f(x,t)
ut−Δu=f(x,t) 热传导方程
u
t
t
−
Δ
u
=
f
(
x
,
t
)
u_{tt}-\Delta u=f(x,t)
utt−Δu=f(x,t) 波动方程
−
Δ
u
=
f
(
x
,
t
)
-\Delta u=f(x,t)
−Δu=f(x,t) Laplace方程
若各向异性，则有
u
t
+
L
u
=
f
(
x
,
t
)
u_t+Lu=f(x,t)
ut+Lu=f(x,t) 热传导方程
u
t
t
+
L
u
=
f
(
x
,
t
)
u_{tt}+Lu=f(x,t)
utt+Lu=f(x,t) 波动方程
L
u
=
f
(
x
,
t
)
Lu=f(x,t)
Lu=f(x,t) Laplace方程
L
u
:
=
−
∑
i
,
j
a
i
,
j
(
x
,
t
)
u
x
i
,
x
j
+
∑
i
b
i
(
x
,
t
)
u
x
i
+
c
(
x
,
t
)
u
Lu:=-\sum_{i,j} a^{i,j} (x,t) u_{x_i,x_j} + \sum_i b^i (x,t)u_{x_i} + c(x,t)u
Lu:=−i,j∑ai,j(x,t)uxi,xj+i∑bi(x,t)uxi+c(x,t)u
1.3 研究内容
研究上述方程的解1的存在性、唯一性、光滑性（正则性）、可离散性，而不研究他们的解析解，因为这没有意义。主要使用泛函作为工具
1.4 实例
- 极小曲面方程
- 预定高斯曲率方程
- N-S方程，不可压，无粘
二、Sobloev空间
2.1 连续可微空间
多重指标：
Z
n
=
{
α
=
(
α
1
,
⋯
,
α
n
)
∈
R
n
:
其
中
α
i
是
非
负
整
数
}
Z_{n}=\left\{\alpha=\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right) \in \mathbb R^{n}: 其中\alpha_{i}是非负整数\right\}
Zn={α=(α1,⋯,αn)∈Rn:其中αi是非负整数}
模：
∣
α
∣
=
∑
i
=
1
n
α
i
|\alpha|=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}
∣α∣=∑i=1nαi
导数：
D
α
u
=
∂
∣
α
∣
u
∂
x
α
1
⋯
∂
x
α
n
D^{\alpha} u = \frac{\partial^{|\alpha|} u}{\partial x^{\alpha_{1}} \cdots \partial x^{\alpha_{n}}}
Dαu=∂xα1⋯∂xαn∂∣α∣u
连续函数空间：
C
(
Ω
ˉ
)
=
{
u
:
Ω
ˉ
→
R
:
连
续
有
界
}
C(\bar\Omega)=\left\{u:\bar\Omega\to\mathbb R: 连续有界\right\}
C(Ωˉ)={u:Ωˉ→R:连续有界}
连续函数空间的模：
∣
∣
u
∣
∣
C
(
Ω
ˉ
)
=
sup
Ω
∣
u
∣
||u||_{C(\bar\Omega)}=\sup_\Omega |u|
∣∣u∣∣C(Ωˉ)=supΩ∣u∣
k阶连续函数空间：
C
k
(
Ω
ˉ
)
=
{
u
∈
C
(
Ω
ˉ
)
:
∀
α
∈
Z
n
,
∣
α
∣
≤
k
,
D
α
u
∈
C
(
Ω
ˉ
)
}
,
k
≥
0
C^k(\bar\Omega)=\left\{u\in C(\bar\Omega):\forall \alpha\in Z_n, |\alpha|\le k ,D^\alpha u\in C(\bar\Omega)\right\},k\ge 0
Ck(Ωˉ)={u∈C(Ωˉ):∀α∈Zn,∣α∣≤k,Dαu∈C(Ωˉ)},k≥0
k阶连续函数空间的模：
∣
∣
u
∣
∣
C
k
(
Ω
ˉ
)
=
max
∣
α
∣
≤
k
α
∈
Z
n
+
∣
∣
u
∣
∣
C
(
Ω
ˉ
)
||u||_{C^k(\bar\Omega)}=\max \limits_{\\|\alpha|\le k\\\alpha\in Z_n^+} ||u||_{C(\bar\Omega)}
∣∣u∣∣Ck(Ωˉ)=∣α∣≤kα∈Zn+max∣∣u∣∣C(Ωˉ)
Holder量纲：
[
u
]
Ω
ˉ
,
r
=
sup
x
≠
y
x
,
y
∈
Ω
∣
u
(
x
)
−
u
(
y
)
∣
∣
x
−
y
∣
r
,
k
≥
0
,
r
∈
[
0
,
1
]
[u]_{\bar\Omega,r}=\sup \limits_{x\neq y\\x,y\in\Omega} \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^r},k\ge 0,r\in[0,1]
[u]Ωˉ,r=x=yx,y∈Ωsup∣x−y∣r∣u(x)−u(y)∣,k≥0,r∈[0,1]
Holder空间：
C
k
,
r
(
Ω
ˉ
)
=
{
u
∈
C
(
Ω
ˉ
)
:
∀
α
∈
Z
n
,
∣
α
∣
=
k
,
[
D
α
u
]
Ω
ˉ
,
r
<
∞
}
,
k
≥
0
,
r
∈
[
0
,
1
]
C^{k,r}(\bar\Omega)=\left\{u\in C(\bar\Omega):\forall \alpha\in Z_n, |\alpha|= k ,[D^\alpha u]_{\bar\Omega,r}<\infty\right\},k\ge0,r\in[0,1]
Ck,r(Ωˉ)={u∈C(Ωˉ):∀α∈Zn,∣α∣=k,[Dαu]Ωˉ,r<∞},k≥0,r∈[0,1]
Holder模：
∣
∣
u
∣
∣
C
k
,
r
(
Ω
ˉ
)
=
∣
∣
u
∣
∣
C
k
(
Ω
ˉ
)
+
max
∣
α
∣
=
k
[
D
α
u
]
Ω
ˉ
,
r
||u||_{C^{k,r}(\bar\Omega)}=||u||_{C^{k}(\bar\Omega)}+\max_{|\alpha|=k} [D^\alpha u]_{\bar\Omega,r}
∣∣u∣∣Ck,r(Ωˉ)=∣∣u∣∣Ck(Ωˉ)+max∣α∣=k[Dαu]Ωˉ,r
距离：
d
i
s
t
(
K
,
∂
Ω
)
=
inf
x
∈
K
,
y
∈
∂
Ω
d
(
x
,
y
)
dist(K,\partial\Omega)=\inf \limits_{x\in K,y\in\partial\Omega} d(x,y)
dist(K,∂Ω)=x∈K,y∈∂Ωinfd(x,y)
严格包含：
K
K
K有界，
d
i
s
t
(
K
,
∂
Ω
)
>
0
,
K
⊂
Ω
dist(K,\partial\Omega)>0,K\sub\Omega
dist(K,∂Ω)>0,K⊂Ω，记作：
K
⊂
⊂
Ω
K\sub\sub\Omega
K⊂⊂Ω
一般集合上的空间：
C
k
,
r
(
Ω
)
=
{
u
:
Ω
→
R
:
∀
K
⊂
⊂
Ω
,
u
∈
C
k
,
r
(
K
ˉ
)
}
,
k
≥
0
,
r
∈
[
0
,
1
]
：
C^{k,r}(\Omega)=\left\{u:\Omega\to\mathbb R:\forall K\sub\sub\Omega, u\in C^{k,r}(\bar K)\right\},k\ge0,r\in[0,1]：
Ck,r(Ω)={u:Ω→R:∀K⊂⊂Ω,u∈Ck,r(Kˉ)},k≥0,r∈[0,1]：
C 0 , 1 ( Ω ˉ ) C^{0,1}(\bar\Omega) C0,1(Ωˉ)是Lipschitz空间， C k , 0 ( Ω ˉ ) = C k ( Ω ˉ ) C^{k,0}(\bar\Omega)=C^k(\bar\Omega) Ck,0(Ωˉ)=Ck(Ωˉ).
Theorem 2.1(Ascoli-Arzela) 设 Ω ⊂ R n \Omega\sub\mathbb R^n Ω⊂Rn有界开， M ⊂ C ( Ω ˉ ) M\sub C(\bar\Omega) M⊂C(Ωˉ)，则 M M M列紧等价于 M M M有界且等度连续
Theorem 2.2设 Ω ⊂ R n \Omega\sub\mathbb R^n Ω⊂Rn开， 0 ≤ r ≤ 1 0\le r \le1 0≤r≤1， k ≥ 0 k\ge0 k≥0，则
- ( C k , r ( Ω ˉ ) , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ C k , r ( Ω ˉ ) ) (C^{k,r}(\bar\Omega),||\cdot||_{C^{k,r}(\bar\Omega)}) (Ck,r(Ωˉ),∣∣⋅∣∣Ck,r(Ωˉ))是Banach空间;
- 若 0 ≤ r ≤ β ≤ 1 , k ≤ m 0\le r\le \beta\le1,k\le m 0≤r≤β≤1,k≤m，则有 C m , β ( Ω ˉ ) ⊂ C k , r ( Ω ˉ ) ⊂ C k ( Ω ˉ ) ⊂ C k , 0 ( Ω ˉ ) C^{m,\beta}(\bar\Omega)\sub C^{k,r}(\bar\Omega)\sub C^k(\bar\Omega)\sub C^{k,0}(\bar\Omega) Cm,β(Ωˉ)⊂Ck,r(Ωˉ)⊂Ck(Ωˉ)⊂Ck,0(Ωˉ);
- 若 Ω \Omega Ω是凸集2，则有 C k + 1 ( Ω ˉ ) ⊂ C k , 1 ( Ω ˉ ) C^{k+1}(\bar\Omega)\sub C^{k,1}(\bar\Omega) Ck+1(Ωˉ)⊂Ck,1(Ωˉ).