$f(t)=K\,e^{\sigma t +j\omega t } \begin{cases} 直流信号\quad f(t)=K &\sigma=0, \omega=0 \\ 实指数信号 \ f(t)=K\,e^{\sigma t } & \sigma\neq0, \omega=0 \\ 等幅振荡正弦信号\ f(t)=K\,e^{ j\omega t}& \sigma=0, \omega\neq0 \\ 不等幅振荡正弦信号 \ f(t)=K\,e^{\sigma t+j\omega t }& \sigma\neq0, \omega \neq0 \end{cases}$ f(t)=Keσt+jωt⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧直流信号f(t)=K实指数信号 f(t)=Keσt等幅振荡正弦信号 f(t)=Kejωt不等幅振荡正弦信号 f(t)=Keσt+jωtσ=0,ω=0σ=0,ω=0σ=0,ω=0σ=0,ω=0

$ 其中 -∞ < t < +∞，K 为振幅 $

其中 -∞ < t < +∞，K 为振幅， $ \omega为角频率 $

（1）直流信号

$f(t)=K $

（2）实指数信号

$f(t)=K\,e^{\sigma t}$ f(t)=Keσt

$\sigma$ σ是决定信号幅度随时间增长或衰减的因子。
$\tau= \frac {1}{|,\sigma ,|} $ ,称为实指数信号的时间常数。

当 $t= \tau$ t=τ 时， $f(\tau)= K e^{-1}=0.368K$ f(τ)=Ke−1=0.368K ,表示实指数信号衰减为初始值的36.8%

（3）等幅振荡正弦信号

$\f(t)=K,e^{ j\omega t} $

由 Euler 得
$f（t）=Ke^{j\omega t}=Kcos \omega t+jKsin\omega t$ f（t）=Kejωt=Kcosωt+jKsinωt

（4）不等幅振荡正弦信号

$f(t)=K\,e^{\sigma t+j\omega t}$ f(t)=Keσt+jωt

(二)取样信号

2.奇异信号

特征：数学表达式属于奇异函数，即在函数本身或其导数或高阶导数具有不连续点（跳变点）。

（1）斜坡信号 $\quad r（t)$ r（t)

$r(t)= \begin{cases} t & t>0 \\ 0& t<0 \end{cases}$ r(t)={t0t>0t<0

（2）单位阶跃信号 $u(t)$ u(t)

$u(t) = \begin{cases} 1 & t>0 \\ 0& t<0 \end{cases}$ u(t)={10t>0t<0

作用：A. 阶跃信号可以表示任意矩形脉冲信号

B.利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围
$例：\quad sin\ wt·u(t-t_0) = \begin{cases} sin\ wt & t>t_0 \\ 0& t<=t_0 \end{cases}$ 例：sin wt⋅u(t−t0)={sin wt0t>t0t<=t0

（3）单位冲激信号 $\delta(t)$ δ(t)

$\delta (t) = \begin{cases} 0 & t\neq 0 \\ \rightarrow ∞& t=0 \end{cases}$ δ(t)={0→∞t=0t=0

也可以运用泛函数表示，$ \phi (t) 为任意一个在t=0处连续的普通函数 $
$\begin{aligned} \int_{-∞}^{∞} \delta(t) ·\phi(t) \mathrm{d} t=\phi(0) \end{aligned}$ ∫−∞∞δ(t)⋅ϕ(t)dt=ϕ(0)
性质：

A.筛选特性

$x(t)\delta(t-t_0)\ = x(t_0)\delta(t-t_0)$ x(t)δ(t−t0) =x(t0)δ(t−t0)

B.抽样特性

$\begin{aligned} \int_{-∞}^{∞} \delta(t-t_0) ·\phi(t) \mathrm{d} t=\phi(t_0) \end{aligned}$ ∫−∞∞δ(t−t0)⋅ϕ(t)dt=ϕ(t0)

C.展缩特性

$\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$ δ(at)=∣a∣1δ(t)

D.卷积特性

（4）单位冲激偶信号 $\delta’(t)$ δ’(t)

$\delta’(t)=\frac{d\delta(t)}{dt}$ δ’(t)=dtdδ(t)

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信号的时域分析

文章目录

0.前言

一.连续时间基本信号

1.普通信号

（一）指数类信号