该系列为DR_CAN动态系统的建模与分析系列视频笔记，详见https://space.bilibili.com/230105574
由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。

1 弹簧阻尼系统的例子

通过对物块 \(m\) 进行受力分析，并根据牛顿第二定律得到系统的微分方程：

通过定义二阶系统的固有频率\(\omega\) 和阻尼比 \(\zeta\) ，可以将上述微分方程改写为：

分析这个系统的动态响应实际上就是求解这个微分方程。对于线性齐次微分方程来说，它的解可以由 \(x = e^{\lambda t}\) 这样的形式来表示，将这个形式代入微分方程中，我们可以得到一个普通的代数方程。

通过将公因式 \(e^{\lambda t}\) 提出来，我们就可以得到一个新的形式。由于 \(e^{\lambda t} \neq 0\) ，等式两边可以同除 \(e^{\lambda t}\) 消去它，这样一来我们就得到了这个线性齐次微分方程的特征方程，而它的解可以通过求根公式得到。

另外的，特征方程的解也就是 \(\lambda\) 的值便是这个系统的极点，通过对微分方程进行拉普拉斯变换同样可以求得相同的结果：

根据阻尼比 \(\zeta\) 的取值，我们可以分为三种情况：过阻尼、临界阻尼与欠阻尼。其中欠阻尼情况下引入了一个新的定义——阻尼固有频率 \(\omega_d = \omega \sqrt{1-\zeta^2}\) ，通过阻尼固有频率我们可以将 \(x(t)\) 进一步改写成更直观的形式——一个不断衰减的正弦函数：

一般来说我们常分析以上三种 \(\zeta>0\) 的情况，也就是稳定（可以收敛）的情况。另外的，当 \(\zeta\leq0\) 时系统临界稳定或不稳定，根据 \(\zeta\) 的取值还分为三种情况：

2 在Simulink中进行仿真

通过移项将微分方程表示为 \(\ddot x = \cdot\cdot\cdot\cdot\) 的形式，我们就可以在simulink中表示这个微分方程：

通过改变积分的初始条件以即 \(\omega\) 和 \(\zeta\) 的值，可以得到不同的动态响应，通过scope可以直观了解到 \(\zeta\) 的值对系统动态响应的影响。