信号与系统课程第十五次作业参考答案

 

 

※ 第一题

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已知$x\left[ n \right],h\left[ n \right]$x[n],h[n]长度分别是10， 25。设：$y_1 \left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right]$y1​[n]=x[n]∗h[n]。
把$x\left[ n \right]$x[n]和$h\left[ n \right]$h[n]分别进行25点的离散傅里叶变换后相乘，即：$Y\left[ k \right] = X\left[ k \right] \cdot H\left[ k \right]$Y[k]=X[k]⋅H[k]。
由$Y\left[ k \right]$Y[k]求出$y\left[ n \right]$y[n]，指出$y_1 \left[ n \right],y\left[ n \right]$y1​[n],y[n]相同的点。

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■ 求解：

 

※ 第二题

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如果希望通过DFT获得吉他每个琴弦的频谱特性，要求频谱分析的最大范围是20kHz，频谱分辨率为1Hz。请问需要进行数据采集的频谱和时间长度分别是多少？

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■ 求解：

数据采集频率为40kHz
数据采集时间为1秒钟。

 

※ 第三题

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序列$x\left[ n \right]$x[n]的长度为8192。已知一台计算机 每次的实数乘法和加分的时间分别为20微秒和4微秒，求直接计算$DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\}$DFT{x[n]}和快速傅里 叶变换计算各需要多少时间?

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■ 求解：

长度为N,N 恰好是2的整数次幂的数，对应对应的DFT的复数乘法和加分分别是：
$N^2 ,\,\,\,N\left( {N - 1} \right)$N2,N(N−1)

对应的FFT的复数乘法和加分分别是：

${N \over 2}\log _2 N,\,\,\,N\log _2 N$2N​log2​N,Nlog2​N

那么对应的实数乘法和加法分别是：
DFT : $4N^2 ,\,\,\,4N^2 - 2N$4N2,4N2−2N
FFT : $2N\log _2 N,\,\,\,3N\log _2 N$2Nlog2​N,3Nlog2​N
相应的运算时间分别为：
DFT : $20 \cdot 4N^2 + 4 \cdot \left( {3N^2 - 2N} \right)\,\,\,\mu s$20⋅4N2+4⋅(3N2−2N)μs
FFT： $20 \cdot 2N\log _2 N + 4 \cdot 3N\log _2 N\,\,\mu s$20⋅2Nlog2​N+4⋅3Nlog2​Nμs

计算得出所需要的是时间分别约为：
DFT：6173.3 (s)
FFT：5.537 (s)

 

※ 第四题

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已知$x\left[ n \right],y\left[ n \right]$x[n],y[n]均为$N$N点的实序列，且：$X\left[ k \right] = DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\}$X[k]=DFT{x[n]},$Y\left[ k \right] = DFT\left\{ {y\left[ n \right]} \right\}$Y[k]=DFT{y[n]}。

设计一个从$X\left[ k \right],Y\left[ k \right]$X[k],Y[k]求出$x\left[ n \right],y\left[ n \right]$x[n],y[n]的$N$N点的离散傅里叶反变换的算法，为了提高运算效率，要求该运算能够一次完成。

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■ 求解：

利用$X\left[ k \right],Y\left[ k \right]$X[k],Y[k]构造数据$Z\left[ k \right]$Z[k]：$Z\left[ k \right] = X\left[ k \right] + jY\left[ k \right]$Z[k]=X[k]+jY[k]。
利用N点的离散傅里叶反变换对Z[k]进行变换。根据DFT的线性性，结果中的实部对应x[n],虚部对应y[n].

 

※ 第五题

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设系统频率特性幅度平方函数的表达式为：
（1）$\left| {H\left( {j\Omega } \right)} \right|^2 = {1 \over {\Omega ^4 + \Omega ^2 + 1}}$∣H(jΩ)∣2=Ω4+Ω2+11​

（2） $\left| {H\left( {j\Omega } \right)} \right|^2 = {{1 + \Omega ^4 } \over {\Omega ^4 - 3\Omega ^2 + 2}}$∣H(jΩ)∣2=Ω4−3Ω2+21+Ω4​

（3） $\left| {H\left( {j\Omega } \right)} \right|^2 = {{100 - \Omega ^4 } \over {\Omega ^4 + 20\Omega ^2 + 10}}$∣H(jΩ)∣2=Ω4+20Ω2+10100−Ω4​

请问哪些系统是物理可实现的？

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■ 求解：

给定的三个系统的幅频函数都是有理分式表达式，它们都会满足佩利维纳准则。所以判断系统是否物理可实现，主要根据系统函数模的平方是否可积。

系统（1）的模的平方的积分小于无穷大；所以它是可以物理实现的；
系统（2），（3）的模的平方积分趋于无穷大，这两个系统是物理不可实现的。

 

※ 第六题

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画出以下传递函数的滤波器结构图：
（1） $H_1 \left( z \right) = {1 \over {1 - az^{ - 1} }}$H1​(z)=1−az−11​

（2） $H_2 \left( z \right) = \left( {1 - z^{ - 1} } \right)^3$H2​(z)=(1−z−1)3

（3） $H_3 \left( z \right) = {{1 - z^{ - 1} } \over {1 - az^{ - 1} }}$H3​(z)=1−az−11−z−1​

（4） $H_4 \left( z \right) = {{\left( {1 - z^{ - 1} } \right)^2 } \over {1 - \left( {a_1 + a_2 } \right)z^{ - 1} + a_3 z^{ - 2} }}$H4​(z)=1−(a1​+a2​)z−1+a3​z−2(1−z−1)2​

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■ 求解：

将系统传递函数整理成有理分式的形式，然后可以绘制出I型滤波器实现结构：

（1）

（2）
$H\left( z \right) = 1 - 3z^{ - 1} + 3z^{ - 3} - z^{ - 3}$H(z)=1−3z−1+3z−3−z−3

（3）

（4）

$H_4 \left( z \right) = {{1 - 2z^{ - 1} + z^{ - 2} } \over {1 - \left( {a_1 + a_2 } \right)z^{ - 1} + a_3 z^{ - 2} }}$H4​(z)=1−(a1​+a2​)z−1+a3​z−21−2z−1+z−2​

 

※ 第七题

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已知IIR数字滤波器的传递函数为：
$H\left( z \right) = {{0.28z^2 + 0.192z + 0.05} \over {z^3 + 0.65z^2 + 0.55z + 0.03}}$H(z)=z3+0.65z2+0.55z+0.030.28z2+0.192z+0.05​

给出它的直接II行、级联型、并联型的滤波器结构图。

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■ 求解：

$H\left( z \right) = {{0.28z^{ - 1} + 0.192z^{ - 2} + 0.05z^{ - 3} } \over {1 + 0.65z^{ - 1} + 0.55z^{ - 2} + 0.03z^{ - 3} }}$H(z)=1+0.65z−1+0.55z−2+0.03z−30.28z−1+0.192z−2+0.05z−3​

对应的直接II型滤波器的结构为：

 

※ 第八题

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已知全通系统的传递函数为：

$H_{ap} = {{z^{ - 1} - z_0^* } \over {1 - z_0 z^{ - 1} }}$Hap​=1−z0​z−1z−1−z0∗​​
$z_0$z0​是实数。
（1）写出该系统的差分方程表达式；
（2）会出直接II型实现的系统框图；

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■ 求解：

略。

 

※ 第九题

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已知模拟滤波器的传递函数为：
（1）$H\left( s \right) = {5 \over {\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}$H(s)=(s+2)(s+3)5​

（2） $H\left( s \right) = {{3s + 2} \over {2s^2 + 3s + 1}}$H(s)=2s2+3s+13s+2​

设采样周期$T = 0.5$T=0.5，用以下方法将它们转换为数字滤波器：
（1）脉冲响应不变法；
（2）双线性变换法；

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■ 求解：

（1）求解：
使用脉冲响应不变法：
$H\left( z \right) = {{2.0569z^{ - 1} } \over {1 - 4.8496z^{ - 1} + 1.6487z^{ - 2} }}$H(z)=1−4.8496z−1+1.6487z−22.0569z−1​
双线性方法：
$H\left( z \right) = {{0.8333 + 1.6667z^{ - 1} - 0.2222z^{ - 2} } \over {1 - 7.3333z^{ - 1} + 2.3333z^{ - 2} }}$H(z)=1−7.3333z−1+2.3333z−20.8333+1.6667z−1−0.2222z−2​

（2）求解：
双线性方法：
$H\left( z \right) = {{0.3111 + 0.0899z^{ - 1} - 0.2222z^{ - 2} } \over {1 - 1.3778z^{ - 1} + 0.4667z^{ - 2} }}$H(z)=1−1.3778z−1+0.4667z−20.3111+0.0899z−1−0.2222z−2​

 

※ 第十题

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使用窗函数法设计一个线性相位FIR滤波器，要求的技术指标为：
（1） 在$\Omega _p = 30\pi \,\,rad/s$Ωp​=30πrad/s处的衰减$\delta _p \ge - 3dB$δp​≥−3dB；
（2） 在$\Omega _s = 46\pi \,\,\,rad/s$Ωs​=46πrad/s处的衰减$\delta _s \le - 40d{\bf{B}}$δs​≤−40dB；
（3）采样周期$T = 0.01s$T=0.01s。

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■ 求解：

采用海明窗口，其单位样值响应为：
$h\left[ n \right] = {{\sin \left[ {0.3\pi \left( {n - 25} \right)} \right]} \over {\pi \left( {n - 25} \right)}}\left[ {0.54 - 0.46\cos \left( {{{2\pi \cdot n} \over {50}}} \right)} \right],\,\,\,\,0 \le n \le 50$h[n]=π(n−25)sin[0.3π(n−25)]​[0.54−0.46cos(502π⋅n​)],0≤n≤50

 

※ 第十一题

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使用级联结构实现以下传递函数：
（1）$X\left( z \right) = {{1 - {1 \over 4}z^{ - 1} } \over {\left( {1 + {1 \over 4}z^{ - 1} } \right)\left( {1 + {5 \over 4}z^{ - 1} + {3 \over 8}z^{ - 2} } \right)}}$X(z)=(1+41​z−1)(1+45​z−1+83​z−2)1−41​z−1​

（2）$X\left( z \right) = {{1 + 8z^{ - 1} + 14z^{ - 2} + 9z^{ - 3} } \over {1 + 6z^{ - 1} + 11z^{ - 2} + 6z^{ - 3} }}$X(z)=1+6z−1+11z−2+6z−31+8z−1+14z−2+9z−3​

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■ 求解：

略。