2020年春季学期信号与系统课程作业参考答案-第十五次作业

信号与系统课程第十五次作业参考答案

 
2020年春季学期信号与系统课程作业参考答案-第十五次作业

 

※ 第一题


已知x[n],h[n]x\left[ n \right],h\left[ n \right]x[n],h[n]长度分别是10, 25。设:y1[n]=x[n]h[n]y_1 \left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right]y1​[n]=x[n]∗h[n]。
x[n]x\left[ n \right]x[n]和h[n]h\left[ n \right]h[n]分别进行25点的离散傅里叶变换后相乘,即:Y[k]=X[k]H[k]Y\left[ k \right] = X\left[ k \right] \cdot H\left[ k \right]Y[k]=X[k]⋅H[k]。
Y[k]Y\left[ k \right]Y[k]求出y[n]y\left[ n \right]y[n],指出y1[n],y[n]y_1 \left[ n \right],y\left[ n \right]y1​[n],y[n]相同的点。


■ 求解:

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※ 第二题


如果希望通过DFT获得吉他每个琴弦的频谱特性,要求频谱分析的最大范围是20kHz,频谱分辨率为1Hz。请问需要进行数据采集的频谱和时间长度分别是多少?

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■ 求解:

数据采集频率为40kHz
数据采集时间为1秒钟。

 

※ 第三题


序列x[n]x\left[ n \right]x[n]的长度为8192。已知一台计算机 每次的实数乘法和加分的时间分别为20微秒和4微秒,求直接计算DFT{x[n]}DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\}DFT{x[n]}和快速傅里 叶变换计算各需要多少时间?


■ 求解:

长度为N,N 恰好是2的整数次幂的数,对应对应的DFT的复数乘法和加分分别是:
N2,   N(N1)N^2 ,\,\,\,N\left( {N - 1} \right)N2,N(N−1)

对应的FFT的复数乘法和加分分别是:

N2log2N,   Nlog2N{N \over 2}\log _2 N,\,\,\,N\log _2 N2N​log2​N,Nlog2​N

那么对应的实数乘法和加法分别是:
DFT : 4N2,   4N22N4N^2 ,\,\,\,4N^2 - 2N4N2,4N2−2N
FFT : 2Nlog2N,   3Nlog2N2N\log _2 N,\,\,\,3N\log _2 N2Nlog2​N,3Nlog2​N
相应的运算时间分别为:
DFT : 204N2+4(3N22N)   μs20 \cdot 4N^2 + 4 \cdot \left( {3N^2 - 2N} \right)\,\,\,\mu s20⋅4N2+4⋅(3N2−2N)μs
FFT: 202Nlog2N+43Nlog2N  μs20 \cdot 2N\log _2 N + 4 \cdot 3N\log _2 N\,\,\mu s20⋅2Nlog2​N+4⋅3Nlog2​Nμs

计算得出所需要的是时间分别约为:
DFT:6173.3 (s)
FFT:5.537 (s)

 

※ 第四题


已知x[n],y[n]x\left[ n \right],y\left[ n \right]x[n],y[n]均为NNN点的实序列,且:X[k]=DFT{x[n]}X\left[ k \right] = DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\}X[k]=DFT{x[n]},Y[k]=DFT{y[n]}Y\left[ k \right] = DFT\left\{ {y\left[ n \right]} \right\}Y[k]=DFT{y[n]}。

设计一个从X[k],Y[k]X\left[ k \right],Y\left[ k \right]X[k],Y[k]求出x[n],y[n]x\left[ n \right],y\left[ n \right]x[n],y[n]的NNN点的离散傅里叶反变换的算法,为了提高运算效率,要求该运算能够一次完成。


■ 求解:

利用X[k],Y[k]X\left[ k \right],Y\left[ k \right]X[k],Y[k]构造数据Z[k]Z\left[ k \right]Z[k]:Z[k]=X[k]+jY[k]Z\left[ k \right] = X\left[ k \right] + jY\left[ k \right]Z[k]=X[k]+jY[k]。
利用N点的离散傅里叶反变换对Z[k]进行变换。根据DFT的线性性,结果中的实部对应x[n],虚部对应y[n].

 

※ 第五题


设系统频率特性幅度平方函数的表达式为:
(1)H(jΩ)2=1Ω4+Ω2+1\left| {H\left( {j\Omega } \right)} \right|^2 = {1 \over {\Omega ^4 + \Omega ^2 + 1}}∣H(jΩ)∣2=Ω4+Ω2+11​

(2) H(jΩ)2=1+Ω4Ω43Ω2+2\left| {H\left( {j\Omega } \right)} \right|^2 = {{1 + \Omega ^4 } \over {\Omega ^4 - 3\Omega ^2 + 2}}∣H(jΩ)∣2=Ω4−3Ω2+21+Ω4​

(3) H(jΩ)2=100Ω4Ω4+20Ω2+10\left| {H\left( {j\Omega } \right)} \right|^2 = {{100 - \Omega ^4 } \over {\Omega ^4 + 20\Omega ^2 + 10}}∣H(jΩ)∣2=Ω4+20Ω2+10100−Ω4​

请问哪些系统是物理可实现的?


■ 求解:

给定的三个系统的幅频函数都是有理分式表达式,它们都会满足佩利维纳准则。所以判断系统是否物理可实现,主要根据系统函数模的平方是否可积。

系统(1)的模的平方的积分小于无穷大;所以它是可以物理实现的;
系统(2),(3)的模的平方积分趋于无穷大,这两个系统是物理不可实现的。

 

※ 第六题


画出以下传递函数的滤波器结构图:
(1) H1(z)=11az1H_1 \left( z \right) = {1 \over {1 - az^{ - 1} }}H1​(z)=1−az−11​

(2) H2(z)=(1z1)3H_2 \left( z \right) = \left( {1 - z^{ - 1} } \right)^3H2​(z)=(1−z−1)3

(3) H3(z)=1z11az1H_3 \left( z \right) = {{1 - z^{ - 1} } \over {1 - az^{ - 1} }}H3​(z)=1−az−11−z−1​

(4) H4(z)=(1z1)21(a1+a2)z1+a3z2H_4 \left( z \right) = {{\left( {1 - z^{ - 1} } \right)^2 } \over {1 - \left( {a_1 + a_2 } \right)z^{ - 1} + a_3 z^{ - 2} }}H4​(z)=1−(a1​+a2​)z−1+a3​z−2(1−z−1)2​


■ 求解:

将系统传递函数整理成有理分式的形式,然后可以绘制出I型滤波器实现结构:

(1)
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(2)
H(z)=13z1+3z3z3H\left( z \right) = 1 - 3z^{ - 1} + 3z^{ - 3} - z^{ - 3}H(z)=1−3z−1+3z−3−z−3

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(3)
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(4)

H4(z)=12z1+z21(a1+a2)z1+a3z2H_4 \left( z \right) = {{1 - 2z^{ - 1} + z^{ - 2} } \over {1 - \left( {a_1 + a_2 } \right)z^{ - 1} + a_3 z^{ - 2} }}H4​(z)=1−(a1​+a2​)z−1+a3​z−21−2z−1+z−2​

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※ 第七题


已知IIR数字滤波器的传递函数为:
H(z)=0.28z2+0.192z+0.05z3+0.65z2+0.55z+0.03H\left( z \right) = {{0.28z^2 + 0.192z + 0.05} \over {z^3 + 0.65z^2 + 0.55z + 0.03}}H(z)=z3+0.65z2+0.55z+0.030.28z2+0.192z+0.05​

给出它的直接II行、级联型、并联型的滤波器结构图。


■ 求解:

H(z)=0.28z1+0.192z2+0.05z31+0.65z1+0.55z2+0.03z3H\left( z \right) = {{0.28z^{ - 1} + 0.192z^{ - 2} + 0.05z^{ - 3} } \over {1 + 0.65z^{ - 1} + 0.55z^{ - 2} + 0.03z^{ - 3} }}H(z)=1+0.65z−1+0.55z−2+0.03z−30.28z−1+0.192z−2+0.05z−3​

对应的直接II型滤波器的结构为:

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※ 第八题


已知全通系统的传递函数为:

Hap=z1z01z0z1H_{ap} = {{z^{ - 1} - z_0^* } \over {1 - z_0 z^{ - 1} }}Hap​=1−z0​z−1z−1−z0∗​​
z0z_0z0​是实数。
(1)写出该系统的差分方程表达式;
(2)会出直接II型实现的系统框图;


■ 求解:

略。

 

※ 第九题


已知模拟滤波器的传递函数为:
(1)H(s)=5(s+2)(s+3)H\left( s \right) = {5 \over {\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}H(s)=(s+2)(s+3)5​

(2) H(s)=3s+22s2+3s+1H\left( s \right) = {{3s + 2} \over {2s^2 + 3s + 1}}H(s)=2s2+3s+13s+2​

设采样周期T=0.5T = 0.5T=0.5,用以下方法将它们转换为数字滤波器:
(1)脉冲响应不变法;
(2)双线性变换法;


■ 求解:

(1)求解:
使用脉冲响应不变法:
H(z)=2.0569z114.8496z1+1.6487z2H\left( z \right) = {{2.0569z^{ - 1} } \over {1 - 4.8496z^{ - 1} + 1.6487z^{ - 2} }}H(z)=1−4.8496z−1+1.6487z−22.0569z−1​
双线性方法:
H(z)=0.8333+1.6667z10.2222z217.3333z1+2.3333z2H\left( z \right) = {{0.8333 + 1.6667z^{ - 1} - 0.2222z^{ - 2} } \over {1 - 7.3333z^{ - 1} + 2.3333z^{ - 2} }}H(z)=1−7.3333z−1+2.3333z−20.8333+1.6667z−1−0.2222z−2​

(2)求解:
双线性方法:
H(z)=0.3111+0.0899z10.2222z211.3778z1+0.4667z2H\left( z \right) = {{0.3111 + 0.0899z^{ - 1} - 0.2222z^{ - 2} } \over {1 - 1.3778z^{ - 1} + 0.4667z^{ - 2} }}H(z)=1−1.3778z−1+0.4667z−20.3111+0.0899z−1−0.2222z−2​

 

※ 第十题


使用窗函数法设计一个线性相位FIR滤波器,要求的技术指标为:
(1) 在Ωp=30π  rad/s\Omega _p = 30\pi \,\,rad/sΩp​=30πrad/s处的衰减δp3dB\delta _p \ge - 3dBδp​≥−3dB;
(2) 在Ωs=46π   rad/s\Omega _s = 46\pi \,\,\,rad/sΩs​=46πrad/s处的衰减δs40dB\delta _s \le - 40d{\bf{B}}δs​≤−40dB;
(3)采样周期T=0.01sT = 0.01sT=0.01s。


■ 求解:

采用海明窗口,其单位样值响应为:
h[n]=sin[0.3π(n25)]π(n25)[0.540.46cos(2πn50)],    0n50h\left[ n \right] = {{\sin \left[ {0.3\pi \left( {n - 25} \right)} \right]} \over {\pi \left( {n - 25} \right)}}\left[ {0.54 - 0.46\cos \left( {{{2\pi \cdot n} \over {50}}} \right)} \right],\,\,\,\,0 \le n \le 50h[n]=π(n−25)sin[0.3π(n−25)]​[0.54−0.46cos(502π⋅n​)],0≤n≤50

 

※ 第十一题


使用级联结构实现以下传递函数:
(1)X(z)=114z1(1+14z1)(1+54z1+38z2)X\left( z \right) = {{1 - {1 \over 4}z^{ - 1} } \over {\left( {1 + {1 \over 4}z^{ - 1} } \right)\left( {1 + {5 \over 4}z^{ - 1} + {3 \over 8}z^{ - 2} } \right)}}X(z)=(1+41​z−1)(1+45​z−1+83​z−2)1−41​z−1​

(2)X(z)=1+8z1+14z2+9z31+6z1+11z2+6z3X\left( z \right) = {{1 + 8z^{ - 1} + 14z^{ - 2} + 9z^{ - 3} } \over {1 + 6z^{ - 1} + 11z^{ - 2} + 6z^{ - 3} }}X(z)=1+6z−1+11z−2+6z−31+8z−1+14z−2+9z−3​


■ 求解:

略。

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