随机事件及其概率
一. 概率的基本定义及性质
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试验E中每一个可能结果称为基本事件,或称为样本点
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所有基本事件组成的集合称为试验E的样本空间,即为\(\Omega\)
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两种特殊事件: 必然事件\(\Omega\)(概率为1),不可能事件 \(\empty\) (概率为0)
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事件运算:
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包含: 事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A
\(B \supset A ; A \subset B\)
显然\(\Omega \supset A \supset \empty\)
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相等:
$A \subset B $且 \(B \subset A\)则\(A = B\)
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并:
\(A \cup B\)
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交:
\(A \cap B\)
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差:
\(A - B = A \cap \neg B = A \cap \overline{B}\)
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不相容:
\(A\cap B = \empty\)
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对立:
$A \cap B = \empty $ 且 \(A + B = \Omega\)
对立一定不相容,不相容不一定对立
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常用运算律:
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交换律
\(A \cup B = B \cup A \\ A \cap B = B \cap A\)
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结合律
\((A \cup B ) \cup C = A \cup (B\cup C) \\ (A \cap B )\cap C = A \cap( B \cap C)\)
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分配律
\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (B \cup C) \\ A \cap(B \cup C) = (A \cap B) \cup (B \cap C)\)
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反演律
\(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \\ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)
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概率公理化
- 非负性: 对于任何一个事件A,\(P(A) \geqslant 0\)
- 规范性: \(P(\Omega) = 1\)
- 可列可加性: 对于两两不相容事件\(P(\sum_{i=1}^{\infin} A_i) = \sum_{i=1}^{\infin}A_i\)
推论性质:
- \(P(\empty) = 0\)
- 有限可加性: 若事件\(A_1,A_2,...,A_n\)两两不相容,则\(P(A_1+A_2+A_3+...+A_n) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n)\)
- 可减性: 若\(B \supset A,\)则 \(P(B - A) = P(B) - P(A)\)
- 单调性:若\(B \supset A,\)则\(P(B) \geqslant P(A)\)
- \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\)
- 加法公式: \(P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)
二.条件概率与事件独立性
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条件概率:在事件A发生的条件下事件B发生的概率: \(P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}\)
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乘法公式: \(P(AB) = P(A) * P(B|A)\)
乘法公式:\(P(A_1A_2...A_n) = P(A_1) * P(A_2|A_1) * P(A_3| A_1A_2) ... P(A_n | A_1A_2...A_{n-1})\)
记忆方法: 这是一个逐步构造\(P(A_1A_2...A_n)\)的过程,先用乘法公式构造\(P(A_1A_2)\), 再用乘法公式构造\(P(A_1A_2A_3)\),....,最后构造\(P(A_1A_2...A_n)\)
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事件独立性: 事件A,B满足\(P(AB) = P(A) * P(B)\)则称事件A,B独立. 因为此时有\(P(A) = P(A|B), P(B) = P(B|A)\)
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n事件独立性: 对于任意规模的部分子集S,S中元素任意取自\(A_1,A_2,...A_n\),都有\(P(A_{r1},A_{r2},...A_{rk}) = P(A_{r1})P(A_{r2})...P_{rk}\)
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全概率公式:
设\(A_1,A_2,...,A_n\)是概率空间的一组事件,若它们两两互不相容,而且\(\sum_{k=1}^{n}A_k = \Omega\)
则称\(A_1,A_2,...,A_n\)是样本空间\(\Omega\)的一个分割,亦称为完备事件组
全概率公式是加法公式和乘法公式的组合:
\(P(B) = \sum_{k=1}^n P(A_k) P(B|A_k)\)
证明: \(P(B) = P(B\Omega) = P(B) * P(\Omega) = P(B) * (P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n)) = \sum_{k=1}^nP(BA_k) = \sum_{k=1}^n P(A_k) * P(B|A_k)\)
事件B发生的概率是各个"原因"下的条件概率的加权平均
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贝叶斯公式:
贝叶斯公式是全概率公式和条件概率公式的组合:
\(P(A_k|B) = \frac{P(A_kB)}{P(B)} = \frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{j=1}^nP(A_j)P(B|A_j)}\)
三种概型
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古典概型:
试验结果共有n个基本事件,且各个基本事件等可能,事件A由m个基本事件组成,则\(P(A) = \frac{m}{n}\)
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几何概型:
试验结果的每一个基本事件可以几何表示为某个区域中的点,则\(P(A) = \frac{A的测度}{\Omega的测度}\)
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伯努利概型:
如果试验E的可能结果为两个:\(A\)及\(\overline{A}\),则称试验E为伯努利试验; 若将试验E重复n次,则称为n重伯努利试验
在n重伯努利试验中,事件A发生的概率为p,则A发生k次的概率为
\(P_n(k) = C_{n}^kp^k(1-p)^{n-k}\)