Problem

给定一张有向图，每条边都有一个容量\(C\)和一个扩容费用\(W\)。这里扩容费用是指将容量扩大\(1\)所需的费用。求：
1.在不扩容的情况下，\(1\)到\(N\)的最大流；
2.将\(1\)到\(N\)的最大流增加\(K\)所需的最小扩容费用。

Solution

第一问显然很好求，但第二问怎么处理呢？

将最大流增加\(K\) \(=>\) 将最大流变成\(K\)

于是我们可以建立扩容重边，边（容量：\(\infty\)，费用：\(W\)），再跑最小费用最大流，使得最大流变成\(K\)，但是我们只要求的是最大流为\(K\)，所以当最大流大于\(K\)时，要减去多算的费用。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N = 1000 + 5;
const int MAX_E = 60000 + 5;
const int MAX_M = 5000 + 5;
const int inf = 1e9;
int Flow,Cost,dis[MAX_N],inq[MAX_N],pre[MAX_N];
int n,m,k,S,T,a[MAX_N],b[MAX_N],c[MAX_N][MAX_N];
int Last[MAX_N],End[MAX_E],Next[MAX_E],len[MAX_E],cost[MAX_E],tot;
struct node{int x,y,z,w;}e[MAX_M];
inline void addedge(int x,int y,int z,int co){
	End[++tot]=y,Next[tot]=Last[x],Last[x]=tot,len[tot]=z,cost[tot]=co;
	End[++tot]=x,Next[tot]=Last[y],Last[y]=tot,len[tot]=0,cost[tot]=-co;
}
inline bool spfa(int W){
	for(int i=1;i<=T;i++) dis[i]=inf,pre[i]=0;
	dis[S]=0;
	queue<int> q;
	inq[S]=1;
	q.push(S);
	while(q.size()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		inq[x]=0;
		for(int i=Last[x];i;i=Next[i]){
			int y=End[i];
			if(len[i] && dis[y]>dis[x]+cost[i]){
				dis[y]=dis[x]+cost[i];
				pre[y]=i;
				if(!inq[y]){
					q.push(y);
					inq[y]=1;
				}
			}
		}
	}
	int f=inf;
	if(dis[T]==inf) return false;
	for(int i=T;i!=S;i=End[pre[i]^1]) f=min(f,len[pre[i]]);
	if(W!=-1) f=min(f,k-Flow);
	for(int i=T;i!=S;i=End[pre[i]^1]) len[pre[i]]-=f,len[pre[i]^1]+=f;
	Flow+=f,Cost+=f*dis[T];
	if(W==-1) return true;
	return Flow<k;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	S=1,T=n;
	tot=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].z,&e[i].w);
		addedge(e[i].x,e[i].y,e[i].z,0);
	}
	while(spfa(-1));
	printf("%d ",Flow);
	k+=Flow;
	Cost=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		addedge(e[i].x,e[i].y,inf,e[i].w);
	}
	while(spfa(114514));
	printf("%d\n",Cost);
	return 0;
}