一、常见等价无穷小
当 \(x\rightarrow0\) 时，
\(\sin x \sim x\)
\(\tan x\sim x\)
\(\arcsin x \sim x\)
\(\arctan x \sim x\)
\(e^x-1 \sim x\), \(a^x-1 \sim x \ln a\)
\(\ln (1+x) \sim x\), \(\displaystyle\ log_{a}(1+x) \sim \frac{x}{\ln a}\)
\(\displaystyle \ln(x+\sqrt{1+x^2}) \sim x\)
\(\displaystyle (1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x\)
\(\displaystyle \displaystyle 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)
\(\displaystyle \tan x-x \sim \frac{1}{3}x^3\)
\(\displaystyle x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3\)
\(\displaystyle \tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3\)
\(\displaystyle \arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3\)
\(\displaystyle x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3\)
当 \(x \rightarrow \infin\) 时，
\(\large \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \infin}(1+ \frac{1}{x})^x=e\)， 括号内的一项趋向 0 。
二、导数 / 微分
-
利用导数的定义：
\(\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
-
常见函数的导数
| 函数 | 导数 |
|---|---|
| \(\sin x\) | \(\displaystyle \cfrac{\text{d}(\sin x)}{\text{d}x}=\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(\dfrac{\text{d}(\cos x)}{\text{d}x}=-\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(\dfrac{\text{d}(\tan x)}{\text{d}x}=\sec^2x\) |
| \(\cot x\) | \(\dfrac{\text{d}(\cot x)}{\text{d}x}=-\csc^2 x\) |
| \(\sec x\) | \(\dfrac{\text{d}(\sec x)}{\text{d}x}=\sec x\tan x\) |
| \(\csc x\) | \(\dfrac{\text{d}(\csc x)}{\text{d}x}=-\csc x \cot x\) |
| \(\arcsin x\) | \(\displaystyle \frac{\text{d}(\arcsin x)}{\text{d}x} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| \(\arccos x\) | \(\displaystyle \dfrac{\text{d}(\arccos x)}{\text{d}x}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| \(\arctan x\) | \(\dfrac{\text{d}(\arctan x)}{\text{d}x} = \dfrac{1}{1+x^2}\) |
| \(\text{arccot}\space x\) | \(\dfrac{\text{d}(\text{arccot}\space x)}{\text{d}x} = - \dfrac{1}{1+x^2}\) |
-
双曲函数 和 反双曲函数
函数名 表达式 双曲正弦 \(\operatorname{sh}x\) \(\operatorname{sh} x = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\) 双曲余弦 \(\operatorname{ch}x\) \(\operatorname{ch} x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\) 双曲正切 \(\operatorname{th}x\) \(\operatorname{th} x = \dfrac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\) 反双曲正弦 \(\operatorname{arcsh}x\) \(\displaystyle \operatorname{arcsh}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})\) 1 反双曲余弦 \(\operatorname{arcch}x\) \(\operatorname{arcch}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\) 反双曲正切 \(\operatorname{arcth}x\) \(\displaystyle \operatorname{arcth}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\)
三、微分方程
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可分离变量的微分方程 \([\mathbf{形如}： \displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x)]\)
① 分离变量后，两端积分。
[② 根据定解条件确定常数]
-
齐次方程 \([\mathbf{形如}：\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=φ(\frac{y}{x})]\)，
看 \(x、y\) 次数的系数是否对称。
① 令 \(u = \dfrac{y}{x}\)， 则 \(y = ux\)， \(\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = u + x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\)。
② 代入方程，分离变量 \(x\) 和 $u $后，两端积分。
③ 用 \(\dfrac{y}{x}\)代替 \(u\) 。
[④ 根据定解条件确定常数]
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一阶线性微分方程 \([\mathbf{形如：} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y=Q(x)]\)
(1) 当 \(Q(x)=0\) 时，方程为『齐次』。 （对应于 非齐次线性方程 的齐次线性方程 ）
齐次线性方程的通解：\(\displaystyle y = Ce^{-\int P(x)\text{d}x}\)
(2) 当 \(Q(x)\not\equiv0\) 时，方程为『非齐次』。 （非齐次线性方程）
非齐次线性方程的通解：\(\displaystyle y = e^{-\int P(x)\text{d}x}(\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C)\)
展开式：\(\displaystyle y = Ce^{-\int P(x)\text{d}x} + e^{-\int P(x)\text{d}x}\int Q(x) \cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x\)
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伯努利方程 \([\mathbf{形如}：\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y= Q(x)\cdot y^n,\space(n\not=0,1)]\)
① 两端同除以 \(y^n\)
② 设 \(z = y^{1-n}\)，则 \(\displaystyle \frac{\text{d}z}{\text{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\)
代入，得 \(\dfrac{1}{1-n}\cdot \dfrac{\text{d}z}{\text{d}x} + P(x)z=Q(x)\)
\(\dfrac{\text{d}z}{\text{d}x}+(1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)\)
③先求 \(z\)，再求 \(y\)。
-
可降阶的高阶微分方程
(1) \([\mathbf{形如}：y^{(n)}=f(x)]\)
两端积分，得 \(\displaystyle y^{(n-1)}=\int f(x)\text{d}x+C_1\)
一直积分到 得到通解 时。
(2) \([\mathbf{形如}：y''= f(x,y')]\)，没有 y
设 \(p = y'\)，则 \(y''=p'\)，
代入，得到 \(p'\) 关于 \(p\) 和 \(x\) 的方程 \(p'=f(x,p)\)
(3) \([\mathbf{形如}：y''=f(y,y')]\)，没有 x
设 \(p = y'\)，则 \(\displaystyle y'' = \frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\text{d}p\space \cdot \space \text{d}y}{\text{d}x\space \cdot \space \text{d}y}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}\)
代入，得到 \(p\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y} = f(y,p)\)
分离变量求解，之后把 \(p = y'\) 代入，
[根据已知条件求出常数之一，继续分离变量求解。根据已知，求出第二个常数]
线性相关 与 线性无关
- 定义：对于定义在区间 \(I\) 上的 n 个函数，如果下式成立则线性相关，否则无关。
二阶微分方程：判断方程是否为线性的方法
若 \(y_1(x),y_2(x)\) 线性无关 \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{y_1(x)}{y_2(x)} \not\equiv\) 常数。
- 高阶线性微分方程
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二阶
\[\displaystyle [\mathbf{形如：} \frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + P(x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} +Q(x)y=f(x)]\tag{6-1} \]① 齐次：\(f(x) \equiv 0\)，设 \((6-2)\) 是 \((6-1)\) 对应的齐次方程。
- 性质：齐次方程的任意两个解相加（或乘 \(C\) ）的结果仍是该齐次方程的解。
- 定理 1 ：如果函数 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是方程 \((6-2)\) 的两个解，那么 函数 \(y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)\)，也是方程 \((6-2)\) 的解。
- 注意：函数 \(y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)\) 不一定是方程 \((6-2)\) 的通解。
- 定理 2 ：如果 函数 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是 线性无关 的特解，则函数 \(y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)\) 是方程 \((6-2)\) 的通解
② 非齐次：\(f(x) \not\equiv 0\)
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n 阶
\[\displaystyle [\mathbf{形如：} y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots + a_{n-1}(x)y'+a_n y= f(x)]\tag{6-n-1} \]① 齐次：
如果 函数 \(y_1(x),y_2(x),\cdots, y_n(x)\) 是 线性无关 的特解，则函数方程 \((6-n-1)\) 的通解为：
\(y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\cdots+C_n y_n(x)\)