连续谱本征函数的"归一化"
1 连续谱本征函数是不能归一化的
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在量子力学中，坐标和动量的取值是连续变化的；角动量的取值是离散的；而能量的取值则视边界条件而定。
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例如：一维粒子的动量本征值为p的本征函数（平面波）为
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p可以取(-∞，+∞)中连续变化的一切实数值。
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不难看出，只要\(C\ne 0\),则
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在本例中，\(\psi_p\)是不能归一化的
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连续谱的本征函数是不能归一化的。
- 当然，任何真实的波函数都不会是严格的平面波，而是某种形式的波包，它只在空间有限区域不为零。
- 如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度大得多，而粒子在此空间区域中各点得概率密度变化极微，则不妨用平面波来近似描述其状态。
2 \(\delta\)函数
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为方便地处理连续谱本征函数地"归一化"，我们可以引用数学上地Dirac的\(\delta\)函数。
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\(\delta\)函数的定义
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因此，若取动量本征态为
则
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这样，就用\(\delta\)函数的形式把平面波的”归一化“表示出来了
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同样，不能归一化的坐标本征态也可以类似处理
3 箱归一化
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平面波的"归一化"问题，还可以采用数学上传统的做法
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即先让粒子局限于有限空间[-L/2,L/2]中运动（最后才让L→∞）
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此时，为了保证动量算符\({\widehat p_x} = - ih{\partial \over {\partial x}}\)为厄米算符，就要求波函数满足周期性边条件。
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动量本征态
，在周期条件下
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由周期条件，得
- 即
，或
- 即
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所以，
或
（粒子波长\(\lambda = {\rm{h}}/\left| p \right| = L/\left| {\rm{n}} \right|\)；即\(\left| {\rm{n}} \right|\lambda = L\)）。
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可以看出，只要\(L \ne ∞\)，动量的可能取值\(p=p_n\),就是不连续的。
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此时，与\(p_n\)相应的动量本征态取为
利用正交归一化条件
利用这一组正交归一完备的函数\(\psi_{p_n}(x)\),可以构成如下\(\delta\)函数
现在让L→∞，\(\Delta {p_n} = {p_{n + 1}} - {p_n} = (h/L) \to 0\)，即动量的可能取值趋于连续变化。
此时，可以把\(h/L \to dp\),而
- \(\sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\Delta {{\rm{p}}_n} = {h \over L}} \sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } { \to \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{dp}}} }\)
- \(\sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } { \to {L \over h}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{dp}}} }\)
于是
结论：
在处理具体问题时，如要避免计算过程中出现的平面波”归一化“困难，则可以用箱归一化波函数\(\psi_{p_n}(x)\)代替不能归一化的\(\psi_{p}(x)\)。
在计算的最后结果才让L→∞。
三维情况：
正交完备的归一化波函数为
则\(\delta\)函数可如下构成：
最后，当L→∞时
而
上式表明，相空间一个体积元\(h^3\)相当于有一个量子态
本章小结
注意:
在体系的一组力学量完全集中,力学量的个数并不一定等于*度的数目.一般说来,在力学量完全集中，力学量的个数>=体系的*度数目.