解析函数的奇点
奇点
奇点 { 孤 立 奇 点 { 可 去 奇 点 m 阶 奇 点 本 性 奇 点 非 孤 立 奇 点 \left\{\begin{array}{l} 孤立奇点\left\{\begin{array}{l} 可去奇点\\m阶奇点\\本性奇点\end{array}\right.\\非孤立奇点\end{array}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧孤立奇点⎩⎨⎧可去奇点m阶奇点本性奇点非孤立奇点
若函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
z
=
a
z=a
z=a 不解析(不可微或无定义)，而在
z
=
a
z=a
z=a 的某去心邻域
0
<
∣
z
−
a
∣
<
ε
0<|z-a|<\varepsilon
0<∣z−a∣<ε 内解析，则称
z
=
a
z=a
z=a 是
f
(
z
)
f(z)
f(z) 的一个孤立奇点。
如果在
z
=
a
z=a
z=a 的无论多么小的邻域内，总有除
z
=
a
z=a
z=a 以外的奇点，则
z
=
a
z=a
z=a 是
f
(
z
)
f(z)
f(z) 的非孤立奇点。
举例： f ( z ) = 1 sin 1 z , z = 0 f(z)=\frac{1}{\sin \frac{1}{z}} ,\quad z=0 f(z)=sinz11,z=0 为其非孤立奇点
孤立奇点的分类
设
a
a
a 为
f
(
z
)
f(z)
f(z) 的孤立奇点，则
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
a
a
a 的某去心邻域内可以展成Laurent 级数
f
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}
f(z)=n=−∞∑∞cn(z−a)n
称非负幂部分
∑
n
=
0
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}
∑n=0∞cn(z−a)n 为
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在点
a
a
a 的正则部分，而称负幂部分
∑
n
=
1
∞
c
−
n
(
z
−
a
)
−
n
\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n}(z-a)^{-n}
∑n=1∞c−n(z−a)−n 为
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在点
a
a
a 的主要部分。
(i) 如果 f ( z ) f(z) f(z) 在 a a a 点的主要部分为零，即没有负幂项，则称 a a a 为 f ( z ) f(z) f(z) 的可去奇点；
如果定义一个新的函数 F ( z ) = { f ( z ) , z ≠ b lim z → b f ( z ) , z = b F(z)= \begin{cases}f(z), & z \neq b \\ \lim _{z \rightarrow b} f(z), & z=b\end{cases} F(z)={f(z),limz→bf(z),z=bz=b ，则新函数 F ( z ) F(z) F(z)在 b b b点也是解析的。
(ii) 如果 f ( z ) f(z) f(z) 在 a a a 点的主要部分为有限多项，设为 c − m ( z − a ) m \frac{c_{-m}}{(z-a)^{m}} (z−a)mc−m + ⋯ + c − 1 z − a ( c − m ≠ 0 ) +\cdots+\frac{c_{-1}}{z-a}\left(c_{-m} \neq 0\right) +⋯+z−ac−1(c−m=0)，则称 a a a 为 f ( z ) f(z) f(z) 的 m m m 阶极点；
只要 ∣ z − b ∣ |z-b| ∣z−b∣足够小， ∣ f ( z ) ∣ |f(z)| ∣f(z)∣可以大于任何正数， lim z → b f ( z ) = ∞ \lim _{z \rightarrow b} f(z)=\infty limz→bf(z)=∞
(iii) 如果 f ( z ) f(z) f(z) 在 a a a 点的主要部分有无限多项，则称 a a a 为 f ( z ) f(z) f(z) 的本性奇点。
f ( z ) f(z) f(z) 的孤立奇点 a a a 为本性奇点的充要条件是 lim z → a f ( z ) \lim _{z \rightarrow a} f(z) limz→af(z) 不存在，即 z → a z \rightarrow a z→a 时, f ( z ) f(z) f(z) 既不趋于 ∞ \infty ∞，也不趋于一定的值。
奇点类型的判定法
求出函数趋于奇点时的极限 lim z → a f ( z ) \lim _{z \rightarrow a} f(z) limz→af(z)
可去奇点处极限 lim z → a f ( z ) \lim _{z \rightarrow a} f(z) limz→af(z) 有限，举例： f ( z ) = sin z z ( z = 0 ) f(z)=\frac{\sin z}{z}\ (z=0) f(z)=zsinz (z=0)；
m m m阶奇点处极限 lim z → a f ( z ) \lim _{z \rightarrow a} f(z) limz→af(z) 为 ∞ \infty ∞，举例： f ( z ) = z 5 ( z − 1 ) 2 ( z = 1 ) f(z)=\frac{z^5}{(z-1)^2}\ (z=1) f(z)=(z−1)2z5 (z=1)；
本性奇点处极限不存在，举例： f ( z ) = e 1 z ( z = 0 ) f(z)=e^{\frac{1}{z}}\ (z=0) f(z)=ez1 (z=0)。
零点
解析函数的零点
如果
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
a
a
a 点的邻域内解析且不恒为 0，若
f
(
a
)
=
0
f(a)=0
f(a)=0，则称
z
=
a
z=a
z=a 为
f
(
z
)
f(z)
f(z) 的零点。设
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
z
=
a
z=a
z=a 点的邻域内解析，则
f
(
z
)
f(z)
f(z) 可以在
z
=
a
z=a
z=a 的邻域内展成 Taylor 级数，
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
,
∣
z
−
a
∣
<
ρ
.
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}, \quad|z-a|<\rho .
f(z)=n=0∑∞cn(z−a)n,∣z−a∣<ρ.
故若
z
=
a
z=a
z=a 为零点，则必有
c
0
=
c
1
=
⋯
=
c
m
−
1
=
0
,
c
m
≠
0.
c_{0}=c_{1}=\cdots=c_{m-1}=0, \quad c_{m} \neq 0 .
c0=c1=⋯=cm−1=0,cm=0.
此时，称
z
=
a
z=a
z=a 点为
f
(
z
)
f(z)
f(z) 的
m
m
m 阶零点，相应地，
f
(
a
)
=
f
′
(
a
)
=
⋯
=
f
(
m
−
1
)
(
a
)
=
0
,
f
(
m
)
(
a
)
≠
0.
f(a)=f^{\prime}(a)=\cdots=f^{(m-1)}(a)=0, \quad f^{(m)}(a) \neq 0 .
f(a)=f′(a)=⋯=f(m−1)(a)=0,f(m)(a)=0.
解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性。
若 z = a z=a z=a 是 f ( z ) f(z) f(z) 的零点且 f ( z ) f(z) f(z) 在 z = a z=a z=a 的邻域内不恒等于零，则一定 ∃ ρ > 0 \exists \rho>0 ∃ρ>0，使得 f ( z ) f(z) f(z) 在空心邻域 0 < ∣ z − a ∣ < ρ 0<|z-a|<\rho 0<∣z−a∣<ρ 内无零点。
其逆否命题：如果解析函数 f ( x ) f(x) f(x) 的零点是非孤立的，则此函数在其解析区域内一定恒为 0 。
由解析函数零点的孤立性可得到一系列推论：
-
唯一性定理：设函数 f 1 ( z ) f_{1}(z) f1(z) 和 f 2 ( z ) f_{2}(z) f2(z) 在区域 D D D 内解析，在 D D D 内有一个收敛于 a ( a ∈ D ) a\ (a\in D) a (a∈D) 的序列 { z n } ( z n ≠ a ) \left\{z_{n}\right\}\left(z_{n} \neq a\right) {zn}(zn=a)，在其上 f 1 ( z ) = f 2 ( z ) f_{1}(z)=f_{2}(z) f1(z)=f2(z)，则 f 1 ( z ) f_{1}(z) f1(z) 和 f 2 ( z ) f_{2}(z) f2(z) 在 D D D 内恒等。
-
设 f 1 ( z ) f_{1}(z) f1(z) 和 f 2 ( z ) f_{2}(z) f2(z) 都在区域 D D D 内解析，且在 D D D 内的一段弧或一个子区域内相等，则在 D D D 内 f 1 ( z ) ≡ f 2 ( z ) f_{1}(z) \equiv f_{2}(z) f1(z)≡f2(z)。
-
在实轴上成立的恒等式，在 z z z 复平面上仍然成立，只要这个恒等式两端的函数在 z z z 复平面上都是解析的。
奇点与零点的相似性
奇点与零点定义极度相似，了解这种相似性有助于快速掌握奇点的概念。
零点： f ( z ) f(z) f(z)在 z = a z=a z=a处 f ( a ) = 0 f(a)=0 f(a)=0且在 z = a z=a z=a邻域解析即可展开成 Taylor 级数， f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n f(z)=∑n=0∞cn(z−a)n；
奇点： f ( z ) f(z) f(z)在 z = a z=a z=a处不解析但在 z = a z=a z=a邻域解析即可展开成 Laurent 级数， f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ( z − a ) n f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n f(z)=∑n=−∞∞cn(z−a)n；
m m m阶零点：Taylor 展开式中 c 0 = c 1 = ⋯ = c m − 1 = 0 c_0=c_1=\cdots =c_{m-1}=0 c0=c1=⋯=cm−1=0， c m ≠ 0 c_m\neq 0 cm=0则 a a a为 f ( z ) f(z) f(z)的 m m m阶零点；
m m m阶奇点：Laurent 展开式中 c − ∞ = ⋯ = c − m − 2 = = c − m − 1 = 0 c_{-\infty}=\cdots=c_{-m-2}==c_{-m-1}=0 c−∞=⋯=c−m−2==c−m−1=0， c − m ≠ 0 c_{-m}\neq 0 c−m=0则 a a a为 f ( z ) f(z) f(z)的 m m m阶奇点；
若Laurent 展开式中 c 0 ≠ 0 c_0\neq0 c0=0， c − 1 = c − 2 = ⋯ = c − ∞ = 0 c_{-1}=c_{-2}=\cdots=c_{-\infty}=0 c−1=c−2=⋯=c−∞=0，则 a a a为 f ( z ) f(z) f(z)的可去奇点；若 c − ∞ ≠ 0 c_{-\infty}\neq0 c−∞=0则 a a a为 f ( z ) f(z) f(z)的本性奇点。