解析函数的奇点

解析函数的奇点

奇点

奇点 { 孤 立 奇 点 { 可 去 奇 点 m 阶 奇 点 本 性 奇 点 非 孤 立 奇 点 \left\{\begin{array}{l} 孤立奇点\left\{\begin{array}{l} 可去奇点\\m阶奇点\\本性奇点\end{array}\right.\\非孤立奇点\end{array}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​孤立奇点⎩⎨⎧​可去奇点m阶奇点本性奇点​非孤立奇点​

若函数 f ( z ) f(z) f(z) 在 z = a z=a z=a 不解析(不可微或无定义),而在 z = a z=a z=a 的某去心邻域 0 < ∣ z − a ∣ < ε 0<|z-a|<\varepsilon 0<∣z−a∣<ε 内解析,则称 z = a z=a z=a 是 f ( z ) f(z) f(z) 的一个孤立奇点。
如果在 z = a z=a z=a 的无论多么小的邻域内,总有除 z = a z=a z=a 以外的奇点,则 z = a z=a z=a 是 f ( z ) f(z) f(z) 的非孤立奇点。

举例: f ( z ) = 1 sin ⁡ 1 z , z = 0 f(z)=\frac{1}{\sin \frac{1}{z}} ,\quad z=0 f(z)=sinz1​1​,z=0 为其非孤立奇点

孤立奇点的分类

设 a a a 为 f ( z ) f(z) f(z) 的孤立奇点,则 f ( z ) f(z) f(z) 在 a a a 的某去心邻域内可以展成Laurent 级数
f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ( z − a ) n f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n} f(z)=n=−∞∑∞​cn​(z−a)n
称非负幂部分 ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n} ∑n=0∞​cn​(z−a)n 为 f ( z ) f(z) f(z) 在点 a a a 的正则部分,而称负幂部分 ∑ n = 1 ∞ c − n ( z − a ) − n \sum_{n=1}^{\infty} c_{-n}(z-a)^{-n} ∑n=1∞​c−n​(z−a)−n 为 f ( z ) f(z) f(z) 在点 a a a 的主要部分

(i) 如果 f ( z ) f(z) f(z) 在 a a a 点的主要部分为零,即没有负幂项,则称 a a a 为 f ( z ) f(z) f(z) 的可去奇点

​ 如果定义一个新的函数 F ( z ) = { f ( z ) , z ≠ b lim ⁡ z → b f ( z ) , z = b F(z)= \begin{cases}f(z), & z \neq b \\ \lim _{z \rightarrow b} f(z), & z=b\end{cases} F(z)={f(z),limz→b​f(z),​z​=bz=b​ ,则新函数 F ( z ) F(z) F(z)在 b b b点也是解析的。

(ii) 如果 f ( z ) f(z) f(z) 在 a a a 点的主要部分为有限多项,设为 c − m ( z − a ) m \frac{c_{-m}}{(z-a)^{m}} (z−a)mc−m​​ + ⋯ + c − 1 z − a ( c − m ≠ 0 ) +\cdots+\frac{c_{-1}}{z-a}\left(c_{-m} \neq 0\right) +⋯+z−ac−1​​(c−m​​=0),则称 a a a 为 f ( z ) f(z) f(z) 的 m m m 阶极点

​ 只要 ∣ z − b ∣ |z-b| ∣z−b∣足够小, ∣ f ( z ) ∣ |f(z)| ∣f(z)∣可以大于任何正数, lim ⁡ z → b f ( z ) = ∞ \lim _{z \rightarrow b} f(z)=\infty limz→b​f(z)=∞

(iii) 如果 f ( z ) f(z) f(z) 在 a a a 点的主要部分有无限多项,则称 a a a 为 f ( z ) f(z) f(z) 的本性奇点

f ( z ) f(z) f(z) 的孤立奇点 a a a 为本性奇点的充要条件是 lim ⁡ z → a f ( z ) \lim _{z \rightarrow a} f(z) limz→a​f(z) 不存在,即 z → a z \rightarrow a z→a 时, f ( z ) f(z) f(z) 既不趋于 ∞ \infty ∞,也不趋于一定的值。

奇点类型的判定法

求出函数趋于奇点时的极限 lim ⁡ z → a f ( z ) \lim _{z \rightarrow a} f(z) limz→a​f(z)

可去奇点处极限 lim ⁡ z → a f ( z ) \lim _{z \rightarrow a} f(z) limz→a​f(z) 有限,举例: f ( z ) = sin ⁡ z z   ( z = 0 ) f(z)=\frac{\sin z}{z}\ (z=0) f(z)=zsinz​ (z=0);

m m m阶奇点处极限 lim ⁡ z → a f ( z ) \lim _{z \rightarrow a} f(z) limz→a​f(z) 为 ∞ \infty ∞,举例: f ( z ) = z 5 ( z − 1 ) 2   ( z = 1 ) f(z)=\frac{z^5}{(z-1)^2}\ (z=1) f(z)=(z−1)2z5​ (z=1);

本性奇点处极限不存在,举例: f ( z ) = e 1 z   ( z = 0 ) f(z)=e^{\frac{1}{z}}\ (z=0) f(z)=ez1​ (z=0)。

零点

解析函数的零点

如果 f ( z ) f(z) f(z) 在 a a a 点的邻域内解析且不恒为 0,若 f ( a ) = 0 f(a)=0 f(a)=0,则称 z = a z=a z=a 为 f ( z ) f(z) f(z) 的零点。设 f ( z ) f(z) f(z) 在 z = a z=a z=a 点的邻域内解析,则 f ( z ) f(z) f(z) 可以在 z = a z=a z=a 的邻域内展成 Taylor 级数,
f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n , ∣ z − a ∣ < ρ . f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}, \quad|z-a|<\rho . f(z)=n=0∑∞​cn​(z−a)n,∣z−a∣<ρ.
故若 z = a z=a z=a 为零点,则必有
c 0 = c 1 = ⋯ = c m − 1 = 0 , c m ≠ 0. c_{0}=c_{1}=\cdots=c_{m-1}=0, \quad c_{m} \neq 0 . c0​=c1​=⋯=cm−1​=0,cm​​=0.
此时,称 z = a z=a z=a 点为 f ( z ) f(z) f(z) 的 m m m 阶零点,相应地,
f ( a ) = f ′ ( a ) = ⋯ = f ( m − 1 ) ( a ) = 0 , f ( m ) ( a ) ≠ 0. f(a)=f^{\prime}(a)=\cdots=f^{(m-1)}(a)=0, \quad f^{(m)}(a) \neq 0 . f(a)=f′(a)=⋯=f(m−1)(a)=0,f(m)(a)​=0.

解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性

若 z = a z=a z=a 是 f ( z ) f(z) f(z) 的零点且 f ( z ) f(z) f(z) 在 z = a z=a z=a 的邻域内不恒等于零,则一定 ∃ ρ > 0 \exists \rho>0 ∃ρ>0,使得 f ( z ) f(z) f(z) 在空心邻域 0 < ∣ z − a ∣ < ρ 0<|z-a|<\rho 0<∣z−a∣<ρ 内无零点。

其逆否命题:如果解析函数 f ( x ) f(x) f(x) 的零点是非孤立的,则此函数在其解析区域内一定恒为 0 。

由解析函数零点的孤立性可得到一系列推论:

  1. 唯一性定理:设函数 f 1 ( z ) f_{1}(z) f1​(z) 和 f 2 ( z ) f_{2}(z) f2​(z) 在区域 D D D 内解析,在 D D D 内有一个收敛于 a   ( a ∈ D ) a\ (a\in D) a (a∈D) 的序列 { z n } ( z n ≠ a ) \left\{z_{n}\right\}\left(z_{n} \neq a\right) {zn​}(zn​​=a),在其上 f 1 ( z ) = f 2 ( z ) f_{1}(z)=f_{2}(z) f1​(z)=f2​(z),则 f 1 ( z ) f_{1}(z) f1​(z) 和 f 2 ( z ) f_{2}(z) f2​(z) 在 D D D 内恒等。

  2. 设 f 1 ( z ) f_{1}(z) f1​(z) 和 f 2 ( z ) f_{2}(z) f2​(z) 都在区域 D D D 内解析,且在 D D D 内的一段弧或一个子区域内相等,则在 D D D 内 f 1 ( z ) ≡ f 2 ( z ) f_{1}(z) \equiv f_{2}(z) f1​(z)≡f2​(z)。

  3. 在实轴上成立的恒等式,在 z z z 复平面上仍然成立,只要这个恒等式两端的函数在 z z z 复平面上都是解析的。

奇点与零点的相似性

奇点与零点定义极度相似,了解这种相似性有助于快速掌握奇点的概念。

零点: f ( z ) f(z) f(z)在 z = a z=a z=a处 f ( a ) = 0 f(a)=0 f(a)=0且在 z = a z=a z=a邻域解析即可展开成 Taylor 级数, f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n f(z)=∑n=0∞​cn​(z−a)n;

奇点: f ( z ) f(z) f(z)在 z = a z=a z=a处不解析但在 z = a z=a z=a邻域解析即可展开成 Laurent 级数, f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ( z − a ) n f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n f(z)=∑n=−∞∞​cn​(z−a)n;

m m m阶零点:Taylor 展开式中 c 0 = c 1 = ⋯ = c m − 1 = 0 c_0=c_1=\cdots =c_{m-1}=0 c0​=c1​=⋯=cm−1​=0, c m ≠ 0 c_m\neq 0 cm​​=0则 a a a为 f ( z ) f(z) f(z)的 m m m阶零点;

m m m阶奇点:Laurent 展开式中 c − ∞ = ⋯ = c − m − 2 = = c − m − 1 = 0 c_{-\infty}=\cdots=c_{-m-2}==c_{-m-1}=0 c−∞​=⋯=c−m−2​==c−m−1​=0, c − m ≠ 0 c_{-m}\neq 0 c−m​​=0则 a a a为 f ( z ) f(z) f(z)的 m m m阶奇点;

若Laurent 展开式中 c 0 ≠ 0 c_0\neq0 c0​​=0, c − 1 = c − 2 = ⋯ = c − ∞ = 0 c_{-1}=c_{-2}=\cdots=c_{-\infty}=0 c−1​=c−2​=⋯=c−∞​=0,则 a a a为 f ( z ) f(z) f(z)的可去奇点;若 c − ∞ ≠ 0 c_{-\infty}\neq0 c−∞​​=0则 a a a为 f ( z ) f(z) f(z)的本性奇点

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