Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci)

 

2.1Bearbeiten
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\text{Ci}}(ax)\,{\text{Ci}}(bx)\,dx={\frac {1}{\max\{a,b\}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\qquad a,b>0}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci)
Beweis

In der Formel

{\displaystyle \int {\text{Ci}}(ax)\,{\text{Ci}}(bx)\,dx=x\,{\text{Ci}}(ax)\,{\text{Ci}}(bx)-{\frac {\sin ax}{a}}\,{\text{Ci}}(bx)-{\frac {\sin bx}{b}}\,{\text{Ci}}(ax)+{\frac {1}{2a}}{\Big (}{\text{Si}}(ax+bx)+{\text{Si}}(ax-bx){\Big )}+{\frac {1}{2b}}{\Big (}{\text{Si}}(ax+bx)-{\text{Si}}(ax-bx){\Big )}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci)

setze {\displaystyle 0\,}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) und {\displaystyle \infty }Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) als Integrationsgrenzen ein.

Asymptotisch verhalten sich {\displaystyle {\text{Ci}}(ax)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) und {\displaystyle {\text{Ci}}(bx)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) für {\displaystyle x\to 0+}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) wie {\displaystyle \log x}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) und für {\displaystyle x\to \infty \,}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) wie {\displaystyle {\frac {\cos x}{x}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci).

Also sind {\displaystyle {\Big [}x\,{\text{Ci}}(ax)\,{\text{Ci}}(bx){\Big ]}_{0}^{\infty }\,\,,\,\,{\Big [}{\frac {\sin ax}{a}}\,{\text{Ci}}(bx){\Big ]}_{0}^{\infty }\,\,,\,\,{\Big [}{\frac {\sin bx}{b}}\,{\text{Ci}}(ax){\Big ]}_{0}^{\infty }}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) jeweils gleich {\displaystyle 0-0=0}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci).

Der übrige Term {\displaystyle \left[{\frac {1}{2a}}{\Big (}{\text{Si}}(ax+bx)+{\text{Si}}(ax-bx){\Big )}+{\frac {1}{2b}}{\Big (}{\text{Si}}(ax+bx)-{\text{Si}}(ax-bx){\Big )}\right]_{0}^{\infty }}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) verschwindet für {\displaystyle x=0}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci).

Für {\displaystyle x\to \infty }Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) geht der Term gegen

{\displaystyle \bullet \quad {\frac {1}{2a}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}\right)+{\frac {1}{2b}}\left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{a}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) falls {\displaystyle a>b}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci).

{\displaystyle \bullet \quad {\frac {1}{2a}}\left({\frac {\pi }{2}}+0\right)+{\frac {1}{2b}}\left({\frac {\pi }{2}}+0\right)={\frac {1}{a}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {1}{b}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) falls {\displaystyle a=b}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci).

{\displaystyle \bullet \quad {\frac {1}{2a}}\left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{2}}\right)+{\frac {1}{2b}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{b}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci) falls {\displaystyle a<b}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci).

上一篇:网安日记③之通过iis搭建ftp并使用通过serv-u搭建ftp


下一篇:主要用到 DELPHI XE 10.2新增HASH函数