《道路工程》——（九）道路平面线形

2023-12-11 15:33:57

圆曲线
- 圆曲线半径公式的推导
- 圆曲线最小半径的选用
缓和曲线
曲线上的超高与加宽
平面线形的组合与衔接

道路线形指道路路幅中心线（又称中线）的立体形状。道路中线在水平面上的投影形状称为平面线形。

道路线形对交通安全、行驶舒适具有重要作用。必须保证道路线形的连续与均衡性，城市道路的平面定线要受到城市道路网布局、道路规划红线宽度和沿街建筑物位置等因素的约束，平面线形只能局限在一定范围内动，定线的*度要比公路小得多，所以必须加强城市道路网规划对道路定线的指导。

道路线形还受用地开发、征地拆迁、环境、景观、美学、文物保护、名树保留、社区影响、公众参与等因素的影响，特别是对道路的拓宽、辟通、改造等。调整线形或变更局部路段的布置。

圆曲线

在路线转折处，一般均用圆曲线连接，以使车辆平顺地由前一条直线路段转向驶入后一条直线路段，所以要分析研究汽车在弯道上行驶的规律和特点，以便采取有效措施来确保汽车行驶的通畅、安全、迅速、经济和舒适。

圆曲线半径公式的推导

汽车在弯道上行驶时，作用在汽车横截面上的力，有垂直向下的汽车重力$\displaystyle G$、水平方向的离心力$\displaystyle C$，以及轮胎与路面间的横向摩阻力，如图所示：

当汽车进人曲线行驶时，便产生离心力，不仅使汽车有向曲线外侧滑移或倾覆的可能，并增大了燃料消耗和轮胎磨损，还使乘客感到不舒适。因此，汽车转弯时的受力特点、行车的安全和舒适、燃料和轮胎的耗损，以及驾驶员的视觉和心理均与在直线上行驶有显著不同。

作用在汽车上的的离心力为：

\[\displaystyle C = m \cfrac{v^2}{R} = \cfrac{Gv^2}{g R} \nonumber \\\ \begin{align} 式中 &m——汽车的质量，kg; \nonumber \\\ &G——汽车的重量，N; \nonumber \\\ &g——重力加速度，m/s^2; \nonumber \\\ &v——行车速度，m/s; \nonumber \\\ &R——平曲线半径，m。\nonumber \end{align} \]

由上式可知，车速越大，离心力也越大；曲线半径越小，离心力越大。因此，在小半径曲线上高速行车时，对行车安全有着严重的威胁。把作用在汽车上（通过重心)的汽车重力 G 和水平方向的离心力 C，分解为垂直于路面的分力$\displaystyle G \cos{\alpha}$及$\displaystyle C \sin{\alpha}$和平行于路面的分力$\displaystyle G \sin{\alpha}$及$\displaystyle C \cos{\alpha}$,则横向力为

\[Y = C \cos{\alpha} \pm G \sin{\alpha} \nonumber \]

因 $\alpha$ 很小，故 $\displaystyle \cos{\alpha} \approx \alpha$ ，$\displaystyle \sin{\alpha} \approx \cos{\alpha} \approx i \text{(路拱坡度)}$ 。于是有

\[\displaystyle Y = C \pm Gi = \cfrac{Gv^2}{gR} \pm Gi \nonumber \\\ \text{式中，“+”是指汽车在曲线外侧车道上行驶；“-”指汽车在曲线内侧车道上行驶。} \]

单位车重的横向力，称为横向力系数 $\displaystyle \mu$ ，即：

\[\mu = \cfrac{Y}{G} = \cfrac{v^2}{gR} \pm i \nonumber \]

将车速 $\displaystyle v$ 的单位转化为 $\displaystyle \mathrm{km/h}$ ，则得：

\[\mu = \cfrac{V^2}{127R} \pm i \nonumber \]

横向力系数 $\displaystyle \mu$，即表示汽车单位重量所受到的横向力，它可以表示汽车在曲线上行驶时横向的稳定程度，$\displaystyle \mu$值越大，表示横向愈不稳定，汽车就可能产生侧向滑移。

横向力 $\displaystyle Y$ 使汽车向曲线外侧滑动，而轮胎与路面间的摩阻力 $\displaystyle X_{\varphi_0}$ ，则阻止汽车滑移。因此，保证汽车不产生横向滑移的必要条件是：

\[Y \leqslant X_{\varphi_0} \nonumber \]

因 $\displaystyle Y = \mu G$ ，竖向力 $\displaystyle X = G$ ，上式可改写为

\[\mu \leqslant \varphi_0 \nonumber \\\ \text{式中，} \varphi_0 \text{为横向摩阻系数} \]

所以得到圆曲线的半径公式：

\[R = \cfrac{V^2}{127(\mu \pm i)} \quad (m) \nonumber \\\ \begin{align} \text{式中} \qquad V &—— \text{设计速度;} \nonumber \\\ \mu &—— \text{横向力系数;} \nonumber \\\ i &—— \text{路拱横坡度，对双向横坡的路面在弯道外侧行驶时，公示中用“-”号，在内侧行驶时用“+”号。} \nonumber \end{align} \]

圆曲线最小半径的选用

设计时，应尽量采用较大的半径，一般应采用大于或等于表 4-2 或表 4-3 所列的不设超高的最小半径；当条件不允许时，才采用设超高的一般最小半径或极限最小半径。

极限最小半径

极限最小半径是指圆曲线半径采用的最小极限值。当地形困难或条件受限制时方可采用。采用极限最小半径时，设置最大超高。城市道路在郊区可用超高 2%~6%，《公路工程技术标准》中的规定值是：μ 值采用 0.15（0.10~0.17)；最大超高 i 一般取 8%(高速公路、一般公路取 10%，严寒积雪情况取 6%)，按公式 $\displaystyle R = \cfrac{V^2}{127(\mu + i)}$ 计算而确定的。

位于平地或下坡的长直线尽头，不应采用小半径平曲线。大、中桥隧道内一般应为直线。必须设置曲线时，应尽量采用较大半径，至少不小于不设超高的最小半径。

改建公路利用现有公路路段，对二级公路，山岭重丘区的极限最小半径可采用 50m；对于三级公路，山岭重丘区的极限最小半径可采用 25m。采用以上极限最小半径时宜相应地增加超高横坡度。

不设超高的最小半径

不设超高的最小半径是指道路曲线半径较大、离心力较小时，汽车沿双向路拱（不设超高）外侧行驶的路面摩擦力足以保证汽车行驶安全稳定时所采用的最小半径。《公路工程技术标准》中的规定值，是按路面泥泞或结冰时的不利情况，并考虑线形的舒顺协调，μ 用 0.035 ~0.04，路拱外侧横坡 $\displaystyle i_0 \leqslant 2\%$ (或 1.5%)，用公式 $\displaystyle R = \cfrac{V^2}{127(\mu - i_0)}$ 计算而确定的。城市道路 μ 值可比公路采用值大，《城市道路设计规范》采用 μ=0.067，算得表 4-3 所列不设超高的最小半径。在建成区，城市道路两侧建筑物已形成，故尽可能不设超高，以免与建筑物标高不协调而影响街景美观。

一般最小半径

一般最小半径是指设超高时的推荐半径。其数值介于极限最小半径与不设超高最小半径之间，其超高值随半径增大而按比例减小。《公路工程技术标准》所采用的一般最小半径值是按照表 4-3 所得出的(μ+i)值来确定的。其中，μ 值与 i 值均按该道路的 $\displaystyle R_{极限}$ 与 $\displaystyle R_{不限}$ 数值的比例而变化。μ=0.05 ~ 0.06，i=0.06 ~ 0.08。

选用的圆曲线半径值，应与当地地形、经济等条件相适应，并应尽量采用大半径曲线以提高道路使用质量，但最大半径不宜超过 10000m。

缓和曲线

设置缓和曲线的目的

设置缓和曲线的目的在于通过曲率的逐渐变化，适应汽车转向操作的行驶轨迹及路线的顺畅，缓和行车方向的突变和离心力的突然产生；是离心加速度逐渐变化，不致产生侧向冲击；并缓和超高，作为超高变化的过渡段，以减少行车震荡。所以缓和曲线是平面线形中直线与圆曲线、圆曲线与圆曲线之间设置的曲率连续变化的曲线。

缓和曲线，宜采用与汽车行驶轨迹相一致的曲线形式。该轨迹的曲率半径 $\displaystyle \rho$ 与汽车的转角 $\displaystyle \varphi$ 成反比例变化，汽车的转角 $\displaystyle \varphi$ 从道路直线段上的零逐渐增加到圆曲线上的固定值，如上图所示。

设汽车在缓和曲线上的行驶速度为 $\displaystyle v$ （$\displaystyle m/s$），行驶 $\displaystyle t$ 秒后，方向盘的转动角度为 $\displaystyle \varphi$ ，前轮的转动角 $\displaystyle \varPhi$ ，则两者关系为

\[\varPhi = K \varphi \text{（} K \leqslant 1 \text{）} \nonumber \]

如方向盘转动的角速度为 $\displaystyle \omega$ ，$\displaystyle t$ 秒后转动的角度为 $\displaystyle \varphi = \omega t$ ，前轮转动的角度为 $\displaystyle \varPhi = K \varphi = K \omega t$ 。

汽车前后轮的轴距为 $\displaystyle L_0$ ，则汽车的转动半径为

\[\rho = \cfrac{L_0}{\sin{\varPhi}} \approx \cfrac{L_0}{\varPhi} = \cfrac{L_0}{K \omega t} \nonumber \]

汽车沿缓和曲线行驶 $\displaystyle t$ 秒后，在曲线上行驶的距离为 $\displaystyle l$ ，则

\[l = vt = v \left( \cfrac{L_0}{K \omega} \cdot \cfrac{1}{\rho} \right) \nonumber \]

设 $\displaystyle v \left( \cfrac{L_0}{K \omega} \right) = C^{'} = \text{常数}$ ，则

\[l = \cfrac{C^{'}}{\rho} \nonumber \]

上式即为汽车等速行驶并以不变角速度转动方向盘所产生的轨迹。

汽车行驶轨迹半径值，随其行驶距离的增加而递减，即缓和曲线上任一点的半径与其距起点的距离成反比例。在缓和曲线终点处，$\displaystyle \rho = R,l = L$ ，则 $ \displaystyle R = \cfrac{C^{'}}{L}$ ，取 $\displaystyle C^{'} = A^2$ ，则行驶轨迹方程为

\[RL = A^2 \nonumber \]

可知回旋线方程与汽车的行驶轨迹是一致的。一般缓和曲线多采用回旋线，曲线半径 $\displaystyle R$ 与回旋线长度 $\displaystyle L$ 成反比：

\[\cfrac{1}{R} = C_0 L \nonumber \]

式中，$\displaystyle C_0$ 为系数。设 $\displaystyle \cfrac{1}{C_0} = A^2$ ，则 $\displaystyle RL=A^2$ ，$\displaystyle A$ 称为回旋线参数。

\[\cfrac{R}{3} \leqslant A \leqslant R \nonumber \\\ \begin{align} 式中 \quad A &——回旋线参数； \nonumber \\\ R &——与回旋线相连接的圆曲线半径，m. \nonumber \end{align} \]

$\displaystyle A$ 值大小依据地形条件及线形要求确定。

当 $\displaystyle R$ 接近于 $\displaystyle 100m$ 时，取 $\displaystyle A = R$ ；当 $\displaystyle R < 100m$ 时，取 $\displaystyle A \geqslant R$ ；当 $\displaystyle R$ 较大或接近于 $\displaystyle 3000m$ 时，取 $\displaystyle A = \cfrac{R}{3}$；当 $\displaystyle R > 3000m$ 时，取 $\displaystyle A < \cfrac{R}{3}$ ；

缓和曲线长度计算

按离心加速度计算

即离心加速度从直线上的零增加到进入圆曲线时的最大值，离心加速度变化率限制在一定的范围内。离心加速度变化率为

\[P = \cfrac{v^3}{LR} (m/s^3) \nonumber \]

设置缓和曲线通常采用 $\displaystyle P=0.6m/s^3$，并以 $\displaystyle V(km/h）$ 代替 $\displaystyle v(m/s)$ ，则

\[P = \cfrac{\left( \cfrac{V}{3.6} \right)^3}{LR} = \cfrac{V^3}{47RL} \leqslant 0.6 \nonumber \]

所以 $\displaystyle L=0.036 \cfrac{V^3}{R} \quad (m)$

按司机操作反应时间计算

已知 $\displaystyle L = vt = \cfrac{1}{3.6} Vt$ ，若一般采用 $\displaystyle t = 3s$ ，则

\[L = \cfrac{3V}{3.6} = 0.83V \quad \text{(} m \text{)} \nonumber \]

按视觉条件计算

从回旋线特性知， $\displaystyle RL = C^{'}$ ，经验认为， $\displaystyle C^{'} = \cfrac{R^2}{9} \thicksim R^2$ ，即可使线型舒顺协调。所以

\[L = \cfrac{R}{9} \thicksim R \nonumber \]

根据实践得出：

$\displaystyle L = \cfrac{R}{9}$ 是相当于缓和曲线的最小转向角 $\displaystyle \beta = 0.0556 \, \mathrm{rad} = 3^{\circ} 15^{'} 59^{''}$ 。

由

\[\beta = \cfrac{L}{2 R} = \cfrac{A^2}{2R^2},\quad A^2 = RL \nonumber \\\ A = R \sqrt{\cfrac{2 \times 0.0556}{1}} = R\sqrt{0.1112} \approx \cfrac{R}{3} \nonumber \]

所以

\[L = \cfrac{A^2}{R} = \cfrac{R}{9} \nonumber \]

$\displaystyle L = R$ 是相当于缓和曲线的最大转向角 $\displaystyle \widehat{\beta}=0.5 \mathrm{rad}=28^{\circ} 38^{\prime} 52^{\prime \prime}$ 。

所以

\[L = \cfrac{A^2}{R} = R \nonumber \]

实际采用的缓和曲线长度应取上述计算值中的大值（一般取 $\displaystyle 5\mathrm{m}$ 的整数倍）。

不设缓和曲线的平曲线半径

在直线与圆曲线间插入缓和曲线后，将产生一位移量 $\displaystyle \Delta R$，当此位移量 $\displaystyle \Delta R$ 与已包括在车道中的富余宽相比为很小时，则可将缓和曲线省略，直线与圆曲线可径相连接，因为它已能满足汽车行驶的轨迹(如下图所示）。
从回旋线数学表达式可知：

\[\Delta R = \cfrac{1}{24} \cdot \cfrac{L^2}{R},\quad \text{而} L = \cfrac{V}{3.6} \times t \nonumber \]

当采用 $\displaystyle \Delta R = 0.20 \mathrm{m}$ 及 $\displaystyle t=3 \mathrm{s}$ 行驶时，即可得出不设缓和曲线的临界半径为

\[R = 0.144V^2 \quad \text{(} \mathrm{m} \text{)} \nonumber \]

各种车速的连接曲线半径计算结果见下表：

考虑到司机的视觉与舒适感，不设缓和曲线的圆曲线半径与不设超高的平曲线半径相同，约相应于 $\displaystyle \Delta R = 0.07 \sim 0.08 \mathrm{m}$，规定数值如上表所示。

各级公路在直线与半径小于上表所列的圆曲线的相连接处，应设置缓和曲线。公路缓和曲线采用回旋线，四级公路不设缓和曲线，可用超高、加宽缓和段代替。

缓和曲线的要素计算

缓和曲线设置在直线与圆曲线间，在起点处与直线段相切，而在终点处与圆曲线相切，所以圆曲线的位置必须向内移动一距离 $\displaystyle \Delta R$ 。通常公路上多采用圆曲线的圆心不动，使半径略为减小而向内移动。在图 4-4 中，$\displaystyle JD$是道路中线的交点，$\displaystyle B$点是原来圆曲线的起点，$\displaystyle F$ 点是原来圆曲线的终点，插入缓和曲线 $\displaystyle AE$ 后，缓和曲线与圆曲线相接于 $\displaystyle E$ 点，缓和曲线起点则为 $\displaystyle A$ 点，而原来的圆曲线向内移动一距离 $\displaystyle \Delta R$ 。在测设时，已知圆曲线半径 $\displaystyle R$ 、偏角 $\displaystyle \alpha$ 、圆曲线起点 $\displaystyle B$ 及终点 $\displaystyle F$ 的位置，所以必须定出缓和曲线起点 $\displaystyle A$ 的位置（ $\displaystyle q$ 值）、缓和曲线与圆曲线衔接点 $\displaystyle E$ 的位置( $\displaystyle x_{\mathrm{h}} , y_{\mathrm{h}}$ 值)，以及原来的圆曲线向内移动的距离 $\displaystyle \Delta R$ 。这 3 个数值确定后，即可设置缓和曲线。设置缓和曲线后，将减小圆曲线的中心角 $\displaystyle \alpha$ ，减小后的中心角等于（ $\displaystyle \alpha - 2 \beta$ ），因而设置缓和曲线的可能条件即为 $\displaystyle \alpha \geqslant 2 \beta$ 。

当 $\displaystyle \alpha = 2 \beta$ 时，两条缓和曲线将在弯道*连接，而形成一条连续的缓和曲线；当 $\displaystyle \alpha < 2 \beta$ 时，则不能设置所规定的缓和曲线，这时必须缩短缓和曲线的长度或增大圆曲线半径(直至不设缓和曲线的圆曲线半径）。

在计算时，为了保持圆曲线原来的半径，须将圆曲线半径增大，使增大值等于内移值 $\displaystyle \Delta R$ ，即取 $\displaystyle R_1 = R + \Delta R$ (图 4-4)，因此，设置缓和曲线后的圆曲线半径仍为 $\displaystyle R$ 。

由图 4-5 可知，$\displaystyle \mathrm{d} \beta = \cfrac{\mathrm{d} l}{\rho} = \cfrac{l \cdot \mathrm{d} l}{C^{\prime}}$ 或 $\displaystyle \beta = \cfrac{l^2}{2 C^{\prime}}$ 记，因为 $\displaystyle l = \cfrac{C^{\prime}}{\rho}$ ，所以在回旋线终点处，若回旋线长为 $\displaystyle L$ ，则得

\[\beta = \cfrac{L_2}{2 C^{\prime}} \nonumber \]

$\displaystyle \beta , \ \Delta R , \ q$ 的计算式如下：

\[\beta = \cfrac{L^2}{2 C^{\prime}} = \cfrac{L}{2R} \quad (\mathrm{rad}) \nonumber \\\ \Delta R = y_{\mathrm{h}} = R \ (1 - \cos{\beta}) \nonumber \]

因为

\[y_{\mathrm{h}} = \cfrac{L^2}{6R} - \cfrac{L^4}{336R^3} \nonumber \\\ \cos \beta = 1 - \cfrac{\beta^2}{2!} + \cfrac{\beta^4}{4!} - \cdots \nonumber \\\ \beta = \cfrac{L}{2R} \nonumber \]

所以有

\[\Delta R = \left( \cfrac{L^2}{6R} - \cfrac{L^4}{336R^3} \right) - \cfrac{L^3}{8R} + \cfrac{L^4}{384R^3} \nonumber \\\ \Delta R = \cfrac{L^2}{24R} - \cfrac{L^4}{2688R^3} \quad (\mathrm{m}) \nonumber \\\ q = x_{\mathrm{h}} - R \sin \beta = x_{\mathrm{h}} - R \left( \beta - \cfrac{\beta^3}{6} \right) = x_{\mathrm{h}} - R \beta + R \cfrac{\beta^3}{6} \nonumber \]

因为

\[\beta = \cfrac{L}{2R}, \ X_{\mathrm{h}} = L - \cfrac{L^3}{40R^2} \nonumber \]

所以有：

\[q = L - \cfrac{L^3}{40R^2} - R \cfrac{L}{2R} + \cfrac{R}{6} \cdot \cfrac{L^3}{8R^3} = \cfrac{L}{2} - \cfrac{L^3}{240R^2} \quad (\mathrm{m}) \nonumber \]

由上两式可知，内移值 $\displaystyle \Delta R$ 约等于缓和曲线中点纵坐标 $\displaystyle y$ 的两倍，而 $\displaystyle q$ 近似地等于缓和曲线中点的横坐标 $\displaystyle x$ 。

得出上列三值后，就可以进行缓和曲线要素的计算，参见图 4-5。

算例：平原区某二级公路有一弯道 $\displaystyle R = 250 \mathrm{m}$，交点 $\displaystyle JD$ 的桩号为 $\displaystyle \mathrm{K}17+568.38$，转角 $\displaystyle \alpha = 38^{\circ}30^{\prime}00^{\prime \prime}$，试计算该曲线上设置缓和曲线后的 5 个基本桩号。

【解：】

缓和曲线长度 $\displaystyle L$
平原区二级公路设计速度为 $\displaystyle 80 \mathrm{km/h}$ ，则

\[L = 0.036 \cfrac{V^3}{R} = 0.036 \times \cfrac{80^3}{250} = 73.73 \quad (\mathrm{m}) \nonumber \\\ L \leqslant \cfrac{V}{3.6} \times 3 = \cfrac{80}{3.6} \times 3 = 66.67 \quad (\mathrm{m}) \nonumber \\\ L = \cfrac{R}{9} \sim R = \cfrac{250}{9} \sim 250 = 27.78 \sim 250 \quad (\mathrm{m}) \nonumber \]

取整数，采用缓和曲线长 $\displaystyle 75 \mathrm{m}$ （《公路工程技术标准》规定： $\displaystyle V = 80 \mathrm{km/h}$ 时，最小缓和曲线长为 $\displaystyle 70 \mathrm{m}$ ）。
圆曲线的内移值 $\displaystyle \Delta R$

\[\Delta R = \cfrac{75^2}{24 \times 250} - \cfrac{74^4}{2688 \times 250^3} = 0.94 \quad (\mathrm{m}) \nonumber \]
总切线长 $\displaystyle T_(\mathrm{h})$
先求

\[q = \cfrac{75}{2} - \cfrac{75^3}{240 \times 250^2} = 37.47 \quad (\mathrm{m}) \nonumber \]

所以 $\displaystyle T_{\mathrm{h}} = (250 + 0.94) \tan{19^{\circ}15^{\prime}} + 37.47 = 125.10 \quad (\mathrm{m})$
曲线总长度 $\displaystyle L_{\mathrm{h}}$

\[\beta = \cfrac{L}{2R} \rho = \cfrac{75}{2 \times 250} \times 57.2958 = 8^{\circ} 35^{\prime} 39.72^{\prime \prime} \nonumber \\\ L_{\mathrm{h}} = 250 \times \left( 38^{\circ} 30^{\prime} - 2 \times 8^{\circ} 35^{\prime} 39.72^{\prime \prime} \times \cfrac{1}{\rho} + 2 \times 75 \right) = 92.99 + 150 = 242.99 \quad (\mathrm{m}) \nonumber \]

满足表 4-6 关于平面曲线最小长度的规定，其中圆曲线长度为 $\displaystyle 92.99(\mathrm{m})$ ，符合表 4-7 所列圆曲线最小长度 $\displaystyle 70 (\mathrm{m})$ 的规定。

5 个基本桩号

\[\begin{array}{cc} J D & \mathrm{~K} 17+568.38 \\ -) T_{\mathrm{h}} & 125.10 \\ \hline Z H & \mathrm{~K} 17+443.28 \\ +) L & 75 \\ \hline H Y & \mathrm{~K} 17+518.28 \\ +)\left(L_{\mathrm{h}}-L\right) & 167.99 \\ \hline H Z & \mathrm{~K} 17+686.27 \\ -) L & 75 \\ \hline Y H & \mathrm{~K} 17+611.27 \\ -) \cfrac{1}{2}\left(L_{\mathrm{h}}-2 \mathrm{~L}\right) & 46.495 \\ Q Z & \mathrm{~K} 17+564.775 \end{array} \nonumber \]
平面线最小长度
汽车在道路曲线段行驶时，如果曲线很短，则司机操作方向盘频繁，在高速驾驶的情况下是危险的。同时，如不设置足够长度的曲线使离心加速度变化率小于一定数值，从乘客心理状况来看也是不好的。一方面，当转角在 $\displaystyle 7^{\circ}$ 以下时，曲线长度就显得比实际短；另一方面，也引起曲线半径很小的错觉。因此，具有一定的曲线长度是必要的。
如此，确定平曲线的最小长度应按下述三方面考虑：
1）曲线过短，司机操作困难根据经验要保证有 $\displaystyle 6 \mathrm{s}$ 的行驶时间，平曲线最小长度见表 4-6。

\[L = vt = \cfrac{V}{3.6} \times 6 = 1.67V \quad (\mathrm{m}) \nonumber \]

当受条件限制时，汽车在圆曲线行驶至少要有 $\displaystyle 3 \mathrm{s}$ 的时间。所以，各级道路平曲线中，一般包括圆曲线和两端的回旋线或超高加宽缓和段。此时，平曲线最小长度需符合表 4-6 规定，而圆曲线的最小长度则应按表 4-7 的规定取用。
满足离心加速度变化率所要求的曲线长度
当平曲线由两个缓和曲线组成时，依离心加速度允许变化率确定。
设离心加速度百年化率为 $\displaystyle P(\mathrm{m/s^2})$ ，则

\[P = \cfrac{v^2}{Rt} \nonumber \]

式中 $\displaystyle v$ —— 行车速度， $\displaystyle \mathrm{m}/\mathrm{s}$ ；
$\displaystyle R$ —— 曲线半径， $\displaystyle \mathrm{m}$ ；
$\displaystyle t$ —— 曲线上的行驶时间， $\displaystyle \mathrm{s}$ 。
设一条缓和曲线行驶的长度为 $\displaystyle l (\mathrm{m})$ ，则

\[l = vt \nonumber \]

故 $\displaystyle P = \cfrac{v^3}{Rl}$ ，一般离心加速度变化率 $\displaystyle P = 0.6 \mathrm{m/s^3}$ ，
故 $\displaystyle L = 2l = \cfrac{2V^3}{(3.6)^3 \times 0.6R} = 0.072 \cfrac{V^3}{R} \quad \mathrm{m}$
式中， $\displaystyle V$ 为行车速度，以 $\displaystyle \mathrm{km/h}$ 计。
按视觉的要求
当曲线转角 $\displaystyle \alpha < 7^{\circ}$ 时，容易产生错觉，即不易识别出曲线，并会误认为比实际曲线长度要短，因此，为使司机不产生错觉，应使 $\displaystyle \alpha < 7^{\circ}$ 的曲线的外矢距 $\displaystyle E$ ，与 $\displaystyle 7^{\circ}$ 时曲线的 $\displaystyle E$ 相等，即采用较长的曲线（图 4-6）。《公路路线设计规范》的规定见表 4-8，现行《城市道路路线设计规范》（CJJ193-2012）对小偏角的平曲线长度只有城市道路 $\displaystyle V = 100 \sim 60 \mathrm{km/h}$ 的采用值与表 4-8 值相同。

曲线上的超高与加宽

超高的设置和超高值

在弯道上，当车辆行驶在双向横坡的车道外侧时，车重的水平分力将增大横向侧滑力，所以当采用的圆曲线半径小于不设超高的最小半径时，为抵消车辆在曲线路段上行驶时所产生的离心力，将曲线段的外侧路面横坡做成与内侧横坡同方向的单向横坡称为超高。
超高计算公式如下：

\[ i_{超} = \cfrac{V^2}{127R} - \mu \nonumber \]

式中 $\displaystyle V ——$ 设计速度， $\displaystyle \mathrm{km/h}$
$\displaystyle R ——$ 圆曲线半径， $\displaystyle \mathrm{m}$
$\displaystyle \mu ——$ 横向力系数，极限最小半径时，$\displaystyle \mu$ 取 $\displaystyle 0.15$；公路设计采用不设超高的最小半径时，$\displaystyle \mu$ 取 $\displaystyle 0.035$；城市道路采用不设超高的最小半径时，$\displaystyle \mu$ 取 $\displaystyle 0.067$；介于中间的半径值 $\displaystyle \mu$ 按比例变化取用。

超高缓和段

从直线段的路拱双向坡断面，过渡到小半径曲线上具有超高横坡的单向坡断面，要有一个逐渐变化的区段，称为超高缓和段，如图 4-7 所示。

超高缓和段长度的计算随超高横坡过渡方式之不同而异，通常超高横坡有下述两种过渡方法。

绕内边缘旋转
先将外侧车道绕路中线旋转，当达到与内侧车道同样的单向横坡后，整个断面绕未加宽前的内侧车道边缘旋转，直至超高横坡值。一般新建工程多采用此种方法(图 4-8(a)）。但在纵断面设计时，应注意中心线标高设计应符合超高横坡过渡的要求。此时超高缓和段长度 $\displaystyle L_超$ 按下式计算：

\[ L_{超} = \cfrac{B \Delta i}{P} \nonumber \]

式中 $\displaystyle B$——路面宽度，$\displaystyle \mathrm{m}$；
$\displaystyle \Delta i$——超高横坡（%）与正常路拱坡度的代数差（%）；
$\displaystyle P$——超高渐变率，即旋转轴与车行道（设置路缘带时，则为路缘带）外侧边缘线之间相对升降的比率，其值参见表 4-11 与表 4-12。
绕中线旋转
先将外侧车道绕中线旋转，当达到与内侧车道构成单向横坡时，整个断面一同绕路中线旋转，直至达到超高横坡值。一般多用于旧路改建工程（图 4-8（b））。
超高缓和段 $\displaystyle L_超$ 计算公式如下：

\[L_超 = \cfrac{B}{2} \ \left( \cfrac{i_0 + i_超}{P} \right) \nonumber \]

式中，$\displaystyle i_0$ 为路拱横坡（%）。

由超高缓和段长度计算公式可知，绕中线旋转的方式，在同样超高值下，缓和段长度较短，但内缘降低较多，在纵坡不大的挖方路段将不利于排水。这种绕中线旋转的方式，对纵断中心线设计标高无影响。所以，在设计时，要综合考虑边沟排水、构造物控制标高等因素，合理选用旋转方式。

对于有中间带的道路绕中线旋转又可分为以下几种：
（1）绕中间带的中心线旋转。此时，先将外侧车行道绕中间带的中心线旋转，当达到与内侧车行道构成单向横坡时，整个断面一同绕中心线旋转，直至达到超高横坡值为止。此时*分隔带呈倾斜状。这种方式（图 4-9（a））宜用于窄中间带的公路。

（2）绕各自车行道中线旋转。这种方式（图 4-9（b））是将两侧车行道分别绕各自的中线旋转，使之各成为独立的单向超高断面。此时*分隔带两边缘分别升高与降低而成为倾斜断面。通常车道数大于 4 的公路多采用此种方式。

（3）绕中间分隔带的边缘旋转。将两侧车行道分别绕*分隔带边缘旋转，使之各自成为独立的单向超高断面。这时*分隔带呈原水平状态。这种方式（图 4-9（c））适用于双幅路段及四幅路道路与各种宽度中间带的高等级公路。

对超高缓和段起终点处车行道边缘出现的竖向转折，宜插入一段圆曲线或二次抛物线，以使连接圆顺。

过大的超高会引起车辆的横向滑移，尤其在冰冻地区更应对超高横坡度加以限制。高速公路、快速路上行驶的汽车为克服行车中的较大离心力，超高横坡度较一般规定值略高。处于市区的城市道路因受交叉口、非机动车以及街道两侧建筑的影响，不宜采用过大的超高横坡度。

加宽

汽车在曲线上行驶时，各车轮行驶的轨迹不相同。靠曲线内侧后轮的行驶半径最小，靠曲线外侧前轮的行驶曲线半径则最大。所以，汽车在曲线上行驶时所占的车道宽度，比直线段的大。为保证汽车在转弯中不侵占相邻车道，凡小于 250m 半径的曲线路段，均需要相应加宽。

图 4-10（a）表示双车道路面上的小型汽车和普通汽车在曲线上行驶时的位置。图 4-10（b）则为半拖车或铰接车在曲线上行驶时的位置。

根据图 4-10 所示，由三角形 AOB 得出

\[L_0^2 + (R - e_1)^2 = R^2 \nonumber \]

所以 $\displaystyle e_1 = R - \sqrt{R^2- L_0}$

双车道时，取 $\displaystyle e = 2e_1$

所以

\[e = 2 \left( R - \sqrt{R^2 - L_0^2} \right) \nonumber \\\ R^2 - L_0^2 = \left( R - \cfrac{e}{2} \right)^2 = R^2 - Re + \cfrac{e^2}{4} \nonumber \]

因 $\displaystyle \cfrac{e^2}{4}$ 值与 $\displaystyle R$ 相比甚小，可略去不计，故

\[e = \cfrac{L_0^2}{R} \nonumber \]

考虑车速的影响，曲线上双车道路面的加宽值按下式计算：

\[e = \cfrac{L_0^2}{R} + \cfrac{0.1V}{\sqrt{R} \nonumber} \]

式中 $\displaystyle e$——双车道加宽值，$\displaystyle \mathrm{m}$；
$\displaystyle L_0$——小型汽车、普通汽车前保险杠至后轴轴心线的距离，或铰接车前保险杠到中轴轴心线的距离，$\displaystyle \mathrm{m}$；
$\displaystyle R$——设加宽的圆曲线半径，$\displaystyle \mathrm{m}$；
$\displaystyle V$—设计速度，$\displaystyle \mathrm{km/h}$。

城市道路每条车道的加宽值根据《城市道路路线设计规范》（CJJ193-2012）见表 4-13，公路加宽值见表 4-14。

为适应汽车在平曲线上行驶时后轮轨迹偏向曲线内侧的需要，通常公路的加宽设在弯道的内侧，见图 4-11，公路加宽值见表 4-14。高架道路弯道上，常因为节省用地或拆迁房屋的困难而设置小半径弯道。此时，考虑到对称于设计中心线上设置加宽较为有利而采用弯道内外两侧同时加宽，其每侧的加宽值为全加宽值之 1/2。采用外侧加宽势必线形不顺，因此宜使外缘半径与渐变段边缘线相切，以利行车。

加宽缓和段

在圆曲线范围内加宽，为不变的全加宽值，两端设置加宽缓和段，其加宽值由直线段加宽为零逐渐按比例增加到圆曲线起点处的全加宽值。

加宽缓和段的长度可按如下两种情况确定：
（1）设置回旋线或超高缓和段时，加宽缓和段长度采用与回旋线或超高缓和段长度相同的数值；

（2）不设回旋线或超高缓和段时，加宽缓和段长度应按渐变率为 1:15，且长度不小于 10m 的要求设置。

加宽过渡的方法：二、三、四级公路及一般城市道路加宽缓和段的设置，采用在相应的回旋线或超高加宽缓和段全长范围内按其长度成比例增加的方法。

平面线形的组合与衔接

直线与曲线的组合

路线的行车平顺性，要求直线与曲线彼此协调且有比例地交替。路线直曲的变化应缓和匀顺。平面曲线的半径、长度与相邻的直线长度应相适应。过长的直线段会使司机感到疲倦，同时也是肇事的原因，只有在道路所指方向地平线处有明显目标时才允许采用长直线段。例如，德国 RAL 规定，曲线半径的大小取决于相连接直线的长度 L，当 $\displaystyle L \leqslant 500 \mathrm{m}$ 时，$\displaystyle R \geqslant L$ ；当 $\displaystyle L > 500 \mathrm{m}$ 时，$\displaystyle R \geqslant 500 \mathrm{m}$。

直线与曲线配合不好的线形应予避免，例如，长直线顶端应避免小半径曲线。同向曲线间的短直线可用大半径的曲线来代替。反向曲线间应有适当长度的直线，这段直线也可用缓和曲线（回旋线）来代替。

因此，直线与曲线组合得当，将能提高线形的行驶质量。例如国外高速公路线形以圆曲线及回旋线为主，其间应有适当长度的直线，使司机的疲劳积累得以调节。

曲线与曲线的组合

道路线形设计时应使线形连续均匀，没有急剧的突变。

圆曲线是曲线组成的基本要素，它的组合有同向曲线和反向曲线。

1）同向曲线

同向曲线指转向相同的相邻两曲线（图 4-12（a））。两同向曲线间以短直线相连而成的曲线称断背曲线，它破坏了平面线型的连续性，应当避免。同向曲线间的直线最小长度宜大于或等于 6 倍的计算行车速度数值，见表 4-15 的规定。

2）反向曲线

反向曲线是指转向相反的两相邻曲线（图 4-12（b））。两反向曲线间最小直线长度宜大于或等于两倍的设计速度值（表 4-15）。三、四级公路两相邻反向曲线无超高加宽时，可径相衔接；无超高而有加宽时，中间应有长度不小于 10m 的加宽缓和段。工程特殊困难的山区，四级公路设置超高时，中间直线长度不得小于 15m。

3）复曲线
复曲线是指两同向曲线直接相连、组合而成的曲线（图 4-13）。

城市道路及一、二、三级公路半径不同的同向圆曲线符合下列条件之一时，可构成复曲线：

（1）小圆半径大于表 4-5 所列不设缓和曲线的最小圆曲线半径时；
（2）小圆半径大于表 4-16 所列半径时。

当复曲线的两圆曲线超高不同时，应按超高坡差从公切点向较大半径曲线内插入超高加宽过渡段，其长度为两超高缓和长度之差或与超高坡差相应的超高缓和长度。

平面线形设计一般原则

（1）平面线形连续、顺适，并与地形、地物相适应，与周围环境相协调；
（2）满足行驶力学上的基本要求和视觉、心理上的要求；
（3）保证平面线形的均衡与连贯；
（4）避免连续急弯的线形；
（5）平曲线应有足够的长度。

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圆曲线