【命题】
对于给定数 \(n\) ,求解其所有因子的欧拉函数值
本文不讨论朴素做法,仅讨论两种较为常用的求解方法
【法一】
根据公式 \(\boldsymbol \varphi(n)=n\prod_{i=1}^m (1-{1\over p_i})\),其中 \(\displaystyle n=\prod_{i=1}^m p_i\)
对于 \(n\) 的每个因子 \(d\) ,暴力查询 \(\sqrt d\) 范围内的质因子,并筛除
最后核验 \(d\) 是否存在大于 \(\sqrt d\) 的质因子,若存在,则再计算该质因子贡献
int phid=d;
for(int i=2;i*i<=d;++i) if(d%i==0) {
while(d%i==0) d/=i;
phid=phid/i*(i-1);
}
if(d>1){
phid=phid/d*(d-1);
}
复杂度计算时,考虑 \(n\) 不大于 \(\sqrt n\) 的因子最多 \(\sqrt n\) 个,故不小于 \(\sqrt n\) 的因子与之成对出现,也不超过 \(\sqrt n\) 个
\(\displaystyle \quad T(n)\)
\(\displaystyle \leq\sum_{d=1}^{\sqrt n}(\sqrt d+{n\over \sqrt d})\)
\(\displaystyle =O(\int_1^{\sqrt n}\sqrt x\text dx)+n\cdot O(\int_1^{\sqrt n}{1\over \sqrt x}\text dx)\)
\(\displaystyle =O(x^{3\over 2}|_1^{\sqrt n})+n\cdot O(x^{1\over 2}|_1^{\sqrt n})\)