力学世界观
给工科生上课的老师来自理学与工学的老师，但我认为既然是给工科生讲，理学老师就应注重应用，而不是上课就在黑板上推导公式，公式书上都有用不着推导，你可以拓宽一下学生的眼界，多讲一讲应用；工学老师 do not not have a money eyes，少接一些无用的项目，不要蔑视理学。
学生，一个是做科研，一个是增加知识储备，同时还要注重自己的精神健康与身体素质。
力学与应用数学
物理学与理论数学
最速降线问题：从高点放开一个静止的质点让它沿着任一路径（直线、曲线、或折线皆可）滑到低点，其间只有均匀的重力作用而没有摩擦力，则怎样的路径可让这段行程的时间最短？
解：摆线，约翰伯努利给出了利用变分法的解答
为什么行星一开始是圆周运动？
康德“星云假说”
力学中的第一性原理（起最基础作用的原理）：牛顿定律、能量守恒定律、虚功原理、最小作用量原理、拉格朗日方程、哈密顿方程
标准模型的拉格朗日量
在粒子物理学里，标准模型（英语：Standard Model）是描述强力、弱力及电磁力这三种基本力及组成所有物质基本粒子的理论
拉格朗日量
L
(
q
,
q
′
,
t
)
=
T
−
U
L(q,q',t) = T - U
L(q,q′,t)=T−U，坐标，速度，时间，动能，势能
哈密顿量
H
(
q
,
p
,
t
)
=
T
+
U
H(q,p,t) = T + U
H(q,p,t)=T+U，坐标，动量，时间，动能，势能
哈密顿作用量
S
=
∫
t
1
t
2
L
d
t
S = \int_{t_1}^{t_2}Ldt
S=∫t1t2Ldt
拉格朗日量与哈密顿作用量满足勒让德变换
H
=
Σ
i
p
i
q
i
′
−
L
H = \Sigma_i p_i q_i' - L
H=Σipiqi′−L
q
′
=
∂
H
∂
p
,
p
′
=
−
∂
H
∂
q
q' = \frac{\partial H}{\partial p}, p' = - \frac{\partial H}{\partial q}
q′=∂p∂H,p′=−∂q∂H
哈密顿-雅可比方程
∂
S
∂
t
+
H
=
0
\frac{\partial S}{\partial t} + H = 0
∂t∂S+H=0
超距作用（英语：action at a distance）：相隔一定距离的物体存在直接、瞬时的相互作用，不需要任何媒介传递，也不需要任何传递时间。
以前将物理相互作用分为碰撞与超距作用。
场：在某种空间，具有一定性质的物体能对与之不想接触的类似物体施加一种力。
低速：伽利略变换，高速：洛伦兹变换
质量可以转为能量，能量可以转为质量吗？
广义相对论：质量引起时空弯曲，弯曲的时空是引力的根源。
引力波：时空的波动
不承认欧氏几何第五条公设，即为非欧几何。
狭义相对论（英语：Special relativity）是由爱因斯坦、洛仑兹和庞加莱等人创立的，应用在惯性参考系下的时空理论，是对牛顿时空观的拓展和修正。爱因斯坦在1905年完成的《论动体的电动力学》论文中提出了狭义相对论。
广义相对论是现代物理中基于相对性原理利用几何语言描述的引力理论。
费米子与玻色子
fundamental interaction
大统一理论认为：强相互作用、弱相互作用和电磁相互作用可以统一成一种相互作用，目前统一弱相互作用和电磁相互作用的电弱统一理论已经获得实验证实。
弱相互作用：由W及Z玻色子的交换（即发射及吸收）所引起的，非接触力。
胶子在两个强子或夸克之间传递强作用力，光子在两个带电粒子之间传递电磁力。
强相互作用可以在两个地方看到：较大的尺度（约1至3飞米）下，强相互作用将质子及中子结合成为原子的原子核；较小的尺度（约0.8飞米，约为核子的尺寸）下，强相互作用将夸克结合，成为质子、中子或其他强子。
第五种相互作用是否存在？
相对论
狭义相对论是仅描述平直线性的时空（指没有引力的，即闵可夫斯基时空）的相对论理论。牛顿的时空观认为运动空间是平直非线性的时空。
Special relativity：光速不变原理；在所有惯性系中，物理定律有相同的表达形式；洛伦兹坐标变换；时慢尺缩；同时的相对性；相对论质量；相对论力学；相对论能量；电磁场统一，电场与磁场是同一种物质，在不同的参考系中的表象。
广义相对论虽然并非当今描述引力的唯一理论，但却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。
General Relativity：引力时间膨胀和引力红移；光线偏折和引力时间延迟；引力波；轨道效应；测地线效应和参考系拖拽；爱因斯坦方程
扭曲的时空会造成物体变形吗？
波粒二象性
微观粒子显示出的波动性与粒子性
薛定谔方程的解为波函数
工业的脚步
人类材料
在人体内发现多达9种不同的微塑料，各个国家的竞争会导致人类灭亡吗？
每年新材料多增加3000多种
晶粒：原子或粒子定向有序排列的区域
单晶：一个大晶粒
多晶：多个晶粒组成，晶粒间的边界称为晶界
航发单晶叶片生长技术利用失蜡法。
http://blog.sina.com.cn/s/blog_ab5b160301016j2d.html
泊松比：
−
1
≤
μ
≤
0.5
-1 \leq \mu \leq 0.5
−1≤μ≤0.5，纵向拉伸，横向会膨胀，即拉胀；纵向压缩，横向会收缩。
高分子：塑料、橡胶、纤维
微纳电子器件
半导体沟道channel
栅极，漏极，源极
晶体管之父”W.Shockley
诺伊斯，摩尔先后进入Shockley实验室，仙童公司，最后成立Intel
柔性电子器件
可折叠屏幕
交叉力学
凝聚态物质：大量粒子组成，且粒子间有很强相互作用的系统。包括：固体、软物质、液体
粘弹性物质的特点：应力松弛（应变不变，应力减小）、蠕变（应力不变，应变增加）、弹性滞后（应力应变曲线不是一条直线，出发与返回的应力应变曲线不重合）
流变学Rheology
生物力学biomechanics
仿生学bionics
应力生长：有生命的物质是由无生命物质构成的，不管什么物质只要他发生形变，其内部就会出现应力，对于有生命的物质来说，其内部出现的应力就会对其生长产生影响，这就是应力与生长之间存在的关系。
脑机接口：非植入式（测量头皮脑电波）；植入式
飞行梦想
边界层
达朗贝尔佯谬：对于不可压缩和无粘性的势流，当物体相对于流体以恒定速度移动时，物体将不会受到任何阻力。但实际中却是有阻力的。
需要学习两点：1、达朗贝尔如何证明，2、如何反驳达朗贝尔
但我认为，你既然是假设的一个数学模型，如果不和真实流体一致，那说明你的数学模型有问题了，这还需要反驳吗？
涡旋
湍流对数率：湍流的能量与波数成正比
边界层的分离与涡旋同时产生
飞行器
纸飞机别名自主动力空气动力学物理模型
D’Alembert’s paradox
佯谬成立条件：不可压缩，无旋，无粘，匀速（这个条件非必须）达朗贝尔佯谬成立的前提是什么？ - 星光之下的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/50753352/answer/299591961
不可压缩，无旋，匀速指的是流体微团，无粘指的是流体为微团之间。
Solving the paradox
Viscous friction: Saint-Venant, Navier and Stokes
Inviscid separated flow: Kirchhoff and Rayleigh
Thin boundary layers: Prandtl
Incompressible flow
incompressible flow (isochoric flow) refers to a flow in which the material density is constant within a fluid parcel—an infinitesimal volume that moves with the flow velocity.
`https://en.wikipedia.org/wiki/Incompressible_flow`
An incompressible fluid is defined as the fluid whose volume or density does not change with pressure.
https://www.researchgate.net/post/What-is-the-difference-between-incompressible-flow-and-incompressible-fluid
Incompressible flow：这是一个流动属性。微观上观察，这一个拉格朗日流体微团的密度不变，另一个拉格朗日流体微团的密度也不变，但这两个微团的密度可能不一样。
Incompressible flluid：这是一个材料属性。宏观上观察，不论流体是否流动，密度不随压力变化。
Incompressible flluid
→
\rightarrow
→ Incompressible flow
Incompressible flow
→
\rightarrow
→ Incompressible flluid or compressible flluid
Incompressible flow对应着the divergence of the flow velocity is zero
欧拉方程组
D ρ D t = − ρ ∇ ⋅ u D u D t = − ∇ p ρ + f D e D t = − p ρ ∇ ⋅ u \frac{D \rho}{D t} = - \rho \nabla \cdot u \\ \frac{D u}{D t} = - \frac{\nabla p}{\rho} + f \\ \frac{D e}{D t} = - \frac{p}{\rho}\nabla \cdot u DtDρ=−ρ∇⋅uDtDu=−ρ∇p+fDtDe=−ρp∇⋅u
mass density, flow velocity and pressure are the so-called convective variables or physical variables or lagrangian variables
mass density, momentum density and total energy density are the so-called conserved variables also called eulerian or mathematical variables
注： u ⋅ ∇ u = ( u ⋅ ∇ ) u u \cdot \nabla u = (u \cdot \nabla) u u⋅∇u=(u⋅∇)u
佯谬推导
不可压
∇
⋅
u
=
0
\nabla \cdot u = 0
∇⋅u=0
无旋
∇
×
u
=
0
\nabla \times u = 0
∇×u=0，
u
=
∇
ϕ
u = \nabla \phi
u=∇ϕ
欧拉运动方程
D
u
D
t
=
−
∇
p
ρ
+
f
\frac{D u}{D t} = - \frac{\nabla p}{\rho} + f
DtDu=−ρ∇p+f
化简欧拉运动方程
D
u
D
t
=
−
∇
p
ρ
+
f
f
=
0
D
u
D
t
=
u
t
+
(
u
⋅
∇
)
u
(
u
⋅
∇
)
u
=
∇
(
u
⋅
u
)
/
2
\frac{D u}{D t} = - \frac{\nabla p}{\rho} + f \\ f = 0 \\ \frac{D u}{D t} = u_t + (u \cdot \nabla)u \\ (u \cdot \nabla)u = \nabla(u \cdot u)/2
DtDu=−ρ∇p+ff=0DtDu=ut+(u⋅∇)u(u⋅∇)u=∇(u⋅u)/2
∂
∇
ϕ
∂
t
+
∇
(
u
⋅
u
)
/
2
=
−
∇
p
ρ
\frac{\partial \nabla \phi}{\partial t} + \nabla(u \cdot u)/2 = - \frac{\nabla p}{\rho}
∂t∂∇ϕ+∇(u⋅u)/2=−ρ∇p
∂
ϕ
∂
t
+
(
u
⋅
u
)
/
2
+
p
ρ
=
C
\frac{\partial \phi}{\partial t} + (u \cdot u)/2 + \frac{p}{\rho} = C
∂t∂ϕ+(u⋅u)/2+ρp=C
假设流体在无穷远处静止且压力为0，则
∂
ϕ
∂
t
+
(
u
⋅
u
)
/
2
+
p
ρ
=
0
\frac{\partial \phi}{\partial t} + (u \cdot u)/2 + \frac{p}{\rho} = 0
∂t∂ϕ+(u⋅u)/2+ρp=0
这是非稳态势流的伯努利方程
假设物体以速度
v
v
v经过流体，流体在无穷远处静止，则流体的速度场
u
(
x
,
t
)
=
u
(
x
−
v
t
,
0
)
u(x,t) = u(x-vt,0)
u(x,t)=u(x−vt,0)，也就是
D
u
D
t
=
u
t
+
(
v
⋅
∇
)
u
=
0
\frac{D u}{D t} = u_t + (v \cdot \nabla)u = 0
DtDu=ut+(v⋅∇)u=0
∫
x
D
∇
ϕ
D
t
=
∫
x
∇
ϕ
t
+
∫
x
v
⋅
∇
2
ϕ
=
0
\int_x \frac{D \nabla \phi}{D t} = \int_x \nabla \phi_t + \int_x v \cdot \nabla^2 \phi = 0
∫xDtD∇ϕ=∫x∇ϕt+∫xv⋅∇2ϕ=0
ϕ
t
+
v
⋅
∇
ϕ
+
R
(
t
)
=
0
\phi_t + v \cdot \nabla \phi + R(t) = 0
ϕt+v⋅∇ϕ+R(t)=0
∂
ϕ
∂
t
+
v
⋅
∇
ϕ
+
R
(
t
)
=
0
\frac{\partial \phi}{\partial t}+ v \cdot \nabla \phi + R(t) = 0
∂t∂ϕ+v⋅∇ϕ+R(t)=0
∂
ϕ
∂
t
+
(
u
⋅
u
)
/
2
+
p
ρ
=
0
\frac{\partial \phi}{\partial t} + (u \cdot u)/2 + \frac{p}{\rho} = 0
∂t∂ϕ+(u⋅u)/2+ρp=0
由两式可以得到
v
⋅
∇
ϕ
+
R
(
t
)
=
(
u
⋅
u
)
/
2
+
p
ρ
v \cdot \nabla \phi + R(t) = (u \cdot u)/2 + \frac{p}{\rho}
v⋅∇ϕ+R(t)=(u⋅u)/2+ρp
p
=
ρ
(
v
u
+
R
(
t
)
−
(
u
⋅
u
)
/
2
)
p = \rho(v u + R(t) - (u \cdot u)/2)
p=ρ(vu+R(t)−(u⋅u)/2)
流体作用在物体上的力
F
=
−
∫
A
p
⋅
n
d
S
F = -\int_A p \cdot n dS
F=−∫Ap⋅ndS
F
=
−
∫
A
(
ρ
(
v
⋅
u
+
R
(
t
)
−
(
u
⋅
u
)
/
2
)
)
⋅
n
d
S
F = -\int_A (\rho(v \cdot u + R(t) - (u \cdot u)/2)) \cdot n dS
F=−∫A(ρ(v⋅u+R(t)−(u⋅u)/2))⋅ndS
F
=
−
∫
A
(
ρ
(
v
⋅
u
−
(
u
⋅
u
)
/
2
)
)
⋅
n
d
S
F = -\int_A (\rho(v \cdot u - (u \cdot u)/2)) \cdot n dS
F=−∫A(ρ(v⋅u−(u⋅u)/2))⋅ndS
F
F
F的每个分量为
F
k
=
−
∫
A
Σ
i
(
ρ
(
v
i
⋅
u
i
−
u
i
2
/
2
)
)
⋅
n
k
d
S
F_k = -\int_A \Sigma_i (\rho(v_i \cdot u_i - u_i^2/2)) \cdot n_k dS
Fk=−∫AΣi(ρ(vi⋅ui−ui2/2))⋅nkdS
由散度定理将面积分转为体积分
1
2
∫
A
Σ
i
u
i
2
n
k
d
S
=
−
1
2
∫
V
∂
∂
x
k
Σ
i
u
i
2
d
V
\frac{1}{2}\int_A \Sigma_i u_i^2 n_k dS = -\frac{1}{2}\int_V \frac{\partial}{\partial x_k} \Sigma_i u_i^2 dV
21∫AΣiui2nkdS=−21∫V∂xk∂Σiui2dV
偶极子势场
−
1
2
∫
V
∂
∂
x
k
Σ
i
u
i
2
d
V
=
−
∫
V
Σ
i
∂
(
u
i
u
k
)
∂
x
i
d
V
-\frac{1}{2}\int_V \frac{\partial}{\partial x_k} \Sigma_i u_i^2 dV = -\int_V \Sigma_i \frac{\partial (u_i u_k)}{\partial x_i} dV
−21∫V∂xk∂Σiui2dV=−∫VΣi∂xi∂(uiuk)dV
由散度定理将体积分再转为面积分
−
∫
V
Σ
i
∂
(
u
i
u
k
)
∂
x
i
d
V
=
∫
A
u
k
Σ
i
u
i
n
i
d
S
-\int_V \Sigma_i \frac{\partial (u_i u_k)}{\partial x_i} dV = \int_A u_k \Sigma_i u_i n_i dS
−∫VΣi∂xi∂(uiuk)dV=∫AukΣiuinidS
最终
F
k
=
−
∫
A
Σ
i
ρ
(
v
i
u
i
n
k
−
u
k
u
i
n
i
)
d
S
F_k = -\int_A \Sigma_i \rho(v_i u_i n_k - u_k u_i n_i)dS
Fk=−∫AΣiρ(viuink−ukuini)dS
流体无法穿透物体，因此
n
⋅
u
=
n
⋅
v
n \cdot u = n \cdot v
n⋅u=n⋅v，
Σ
i
n
i
v
i
=
Σ
i
n
i
u
i
\Sigma_i n_i v_i = \Sigma_i n_i u_i
Σinivi=Σiniui
F
k
=
−
∫
A
Σ
i
ρ
(
v
i
u
i
n
k
−
u
k
v
i
n
i
)
d
S
F_k = -\int_A \Sigma_i \rho(v_i u_i n_k - u_k v_i n_i)dS
Fk=−∫AΣiρ(viuink−ukvini)dS
因此推导出流体给物体的阻力位为0
v
⋅
F
k
=
Σ
k
v
k
F
k
=
0
v \cdot F_k = \Sigma_k v_k F_k = 0
v⋅Fk=ΣkvkFk=0
https://www.sohu.com/a/244672913_100013296https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_paradoxhttp://galileo.phys.virginia.edu/classes/311/notes/fluids1/fluids11/node19.html
这个推导过程是wiki上的，足以看出我的流体力学与张量分析基础薄弱。
弗吉尼亚流体力学教程http://galileo.phys.virginia.edu/classes/311/notes/notes.html#print