8. Schmidt 分解和纯化
8.1 Schmidt 分解
设\(|\psi\rang\) 是复合系统\(AB\)的一个纯态，则存在系统\(A\)的标准正交基\(|i_A\rang\) 和系统\(B\)的标准正交基\(|i_B \rang\) ，使得
\[|\psi\rang=\sum_i\lambda_i|i_A\rang|i_B\rang \]其中\(\lambda_i\) 是满足\(\sum_i\lambda_i^2=1\) 的非负实数，称为Schmidt 系数.
重要结论：系统\(A\)的约化密度算子\(\rho^A=\sum_i\lambda_i^2|i_A\rang\lang i_A|\)，系统\(B\)的约化密度算子\(\rho^B=\sum_i\lambda_i^2|i_B\rang\lang i_B|\), 两个约化密度算子的特征值均为\(\lambda_i^2.\)
推导如下：
\(\rho^{AB}=|\psi\rang\lang\psi|=\sum_i\lambda_i|i_A\rang|i_B\rang \sum_i\lambda_i\lang i_A| \lang i_B| =\sum_i\lambda_i^2 \Big(|i_A\rang \otimes |i_B\rang \Big) \Big(\lang i_A| \otimes \lang i_B| \Big)\)
\(\rho^A=tr_B(\rho^{AB})=tr_B\Big(\sum_i\lambda_i^2 (|i_A\rang \otimes |i_B\rang ) (\lang i_A| \otimes \lang i_B| )\Big)=\sum_i \lambda_i^2 tr_B \Big(|i_A\rang\lang i_A| \otimes |i_B\rang \lang i_B| \Big) \\= \sum_i \lambda_i^2 |i_A\rang \lang i_A| tr(|i_B\rang \lang i_B|)=\sum_i \lambda_i^2 |i_A\rang \lang i_A| tr(\lang i_B|i_B\rang)\\=\sum_i \lambda_i^2 |i_A\rang \lang i_A| (\lang i_B|i_B\rang)=\sum_i \lambda_i^2 |i_A\rang \lang i_A|\)
类似地，可以得到\(\rho^B=\sum_i\lambda_i^2|i_B\rang\lang i_B|\).