多重积分 线面积分

Pre:二重/三重积分

极坐标下的二重积分

\[dxdy=\rho d\theta d\rho \]

因为有:

\[d\delta=d\theta/2\pi\cdot\pi\cdot((\rho+d\rho)^2-\rho^2) \]

三重积分的球坐标

\[dxdydz=r^2sin\varphi d\rho d\varphi d\theta \]

三重积分的柱坐标

\[dxdydz=dsdz=\rho d\theta d\rho dz \]

形心

\[\bar x=\frac{\iint_D x\ dxdy}{\iint_D dxdy} \]

一类

一类线积分

对于质量的积分.

如果有参数式\(x=g(t),y=h(t)\),那么有

\[\int_L f(x,y)ds=\int f\cdot\sqrt{g'^2+h'^2}\ dt \]

一类面积分

\[\iint f(x,y,z)ds=\iint_{Proj}f(x,y,z(x,y))\cdot\sqrt{1+z_x'^2+z_y^2}dxdy \]

二类

二类线积分

\[\int_L Pdx+Qdy=Pg'+Qh'\ dt \]

定符号:右手定则

GL公式

\[\int_{Loop} Pdx+Qdy= \iint_\Sigma Q/\partial x - P/ \partial y \ dxdy \]

注意闭环内无定义的点要特别挖出来.典型的例如\(\frac{1}{x^2+y^2}\)在(0,0)无定义,需要挖一块\(x^2+y^2=r^2.\)出来.注意定号.

当\(Q/\partial x = P/ \partial y\),积分在有定义区域内积分和路径无关.

定号方式:

设要求L1逆时针的积分 中间挖了一个洞L2,顺时针

则有

\[\int_{L1}+\int_{L2}=0 \int_{L1}=-\int_{L2}=\int_{-L2} \]

即求L2的逆时针.

二类面积分

\[\int Pdydz+Qdxdz+Rdxdy \]

对于其中一个分量:

\[\int R dxdy=\iint_{Proj}R(x,y,z(x,y))dxdy \]

定号:依方向的坐标轴.

GS公式

对于闭空间面

\[\iiint_{\Sigma} Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iiint P/\partial x+Q/\partial y+R/\partial z dxdydz \]

定符号为外侧为正.同GL公式,当没有定义的时候挖洞.

STKS公式:空间曲线的二类积分

对于空间曲线的二类积分

定号:平面的法向量=闭曲线的右手定则

物理应用

• 形心:\(\bar x=\frac{\iint_D x\ dxdy}{\iint_D dxdy}\)

• 转动惯量:\(I=r^2\rho(x,y,z)dv\),r为到转动轴的距离.