- 设 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn
- 是 n n n个标准正交基
- 是列向量哦！
- 那么
α 1 α 1 T + α 2 α 2 T + . . . + α n α n T \alpha_1\alpha_1^T + \alpha_2\alpha_2^T+...+\alpha_n\alpha_n^T α1α1T+α2α2T+...+αnαnT
- 是单位矩阵！
- 咋证明
(
α
1
α
1
T
+
α
2
α
2
T
+
.
.
.
+
α
n
α
n
T
)
α
1
=
α
1
(\alpha_1\alpha_1^T + \alpha_2\alpha_2^T+...+\alpha_n\alpha_n^T)\alpha_1 = \alpha_1
(α1α1T+α2α2T+...+αnαnT)α1=α1
(
α
1
α
1
T
+
α
2
α
2
T
+
.
.
.
+
α
n
α
n
T
)
α
2
=
α
2
(\alpha_1\alpha_1^T + \alpha_2\alpha_2^T+...+\alpha_n\alpha_n^T)\alpha_2 = \alpha_2
(α1α1T+α2α2T+...+αnαnT)α2=α2
- 所以
α 1 α 1 T + α 2 α 2 T + . . . + α n α n T \alpha_1\alpha_1^T + \alpha_2\alpha_2^T+...+\alpha_n\alpha_n^T α1α1T+α2α2T+...+αnαnT肯定是单位矩阵！