1. 信号知识点
1.1. 信号的分类
1.1.1. 确定信号和随机信号
确定信号：信号是关于时间的一个函数
随机信号：每一时刻信号的值服从一定的概率分布
1.1.2. 连续时间信号和离散时间信号
模拟信号：时间连续，取值连续
阶梯信号：时间连续，取值离散
抽样信号：时间离散，取值连续
数字信号：时间离散，取值离散
1.1.3. 周期信号和非周期信号
对于连续时间信号，周期信号
x
(
t
)
x(t)
x(t) 的数学表示为
x
(
t
)
=
x
(
t
+
k
T
0
)
,
k
∈
Z
x(t) = x(t + kT_0), k \in Z
x(t)=x(t+kT0),k∈Z
其中，
T
0
T_0
T0 为基波周期，基波频率定义为
f
0
=
1
/
T
0
f_0 = 1/T_0
f0=1/T0，基波角频率定位为
w
0
=
2
π
f
0
=
2
π
/
T
0
w_0 = 2\pi f_0 = 2\pi / T_0
w0=2πf0=2π/T0。
对于离散时间周期信号，定义为
x
[
n
]
=
x
[
n
+
m
N
0
]
,
m
∈
Z
x[n] = x[n + mN_0], m \in Z
x[n]=x[n+mN0],m∈Z
其中基波周期
N
0
N_0
N0 只能取整数（由于离散信号只能在整数时刻取值）。
直流信号的周期未定义，周期可以是任意值。
问：两个周期信号之和一定是周期信号吗？
对于连续时间信号，必须要求两个周期 T 1 T_1 T1和 T 2 T_2 T2存在公倍数（ ∃ n 1 , n 2 ∈ Z , T 1 n 1 = T 2 n 2 \exist n_1, n_2 \in Z, T_1 n_1 = T_2 n_2 ∃n1,n2∈Z,T1n1=T2n2），则两信号之和仍为周期信号，周期为 T 1 T_1 T1和 T 2 T_2 T2的最小公倍数；
对于离散时间信号，两周期序列之和必是周期序列（离散时间信号的周期为正整数，两正整数之间总存在最小公倍数）。
连续时间与离散时间的虚指数信号的对比
-
e j w t e^{jwt} ejwt 是周期信号，周期为 T = 2 π w T=\frac{2\pi}{w} T=w2π，频率与信号是一一对应的，且振荡频率随 w w w 单调变化。
-
e j w n e^{jwn} ejwn 不一定是周期信号（必须满足 w w w 为 2 π 2\pi 2π 的有理数倍才为周期信号）， w , w + 2 π , w + 4 π , ⋯ w, w+2\pi, w+4\pi,\cdots w,w+2π,w+4π,⋯ 对应的是同一个信号。当 w = π w=\pi w=π 信号达到最高频率，当 w = 0 , 2 π w=0,2\pi w=0,2π 信号达到最低频率。
1.1.4. 对称信号和非对称信号
奇信号
x ( t ) = − x ( − t ) , x [ n ] = − x [ − n ] x(t) = -x(-t), \ x[n] = -x[-n] x(t)=−x(−t), x[n]=−x[−n]
偶信号
x ( t ) = x ( − t ) , x [ n ] = x [ − n ] x(t) = x(-t), \ x[n] = x[-n] x(t)=x(−t), x[n]=x[−n]
奇谐信号 信号平移半个周期后，与原信号相加为0
x ( t ) + x ( t + T 2 ) = 0 , x [ n ] + x [ n + N 2 ] = 0 x(t) + x(t + \frac{T}{2}) = 0,\ x[n] + x[n + \frac{N}{2}] = 0 x(t)+x(t+2T)=0, x[n]+x[n+2N]=0
偶谐信号 信号平移半个周期 T / 2 T/2 T/2后，与原信号相同（本身的周期为 T / 2 T/2 T/2）
x ( t ) = x ( t + T 2 ) , x [ n ] = x [ n + N 2 ] x(t) = x(t + \frac{T}{2}),\ x[n] = x[n + \frac{N}{2}] x(t)=x(t+2T), x[n]=x[n+2N]
任意一个信号
x
(
t
)
x(t)
x(t) /
x
[
n
]
x[n]
x[n] 均可以分解为奇信号分量
x
o
(
t
)
x_o(t)
xo(t)和偶信号分量
x
e
(
t
)
x_e(t)
xe(t)之和，即
x
(
t
)
=
x
o
(
t
)
+
x
e
(
t
)
x
o
(
t
)
=
1
2
[
x
(
t
)
+
x
(
−
t
)
]
x
e
(
t
)
=
1
2
[
x
(
t
)
−
x
(
−
t
)
]
\begin{aligned} x(t) &= x_o(t) + x_e(t)\\ x_o(t) &= \frac{1}{2}[x(t) + x(-t)]\\ x_e(t) &= \frac{1}{2}[x(t) - x(-t)]\\ \end{aligned}
x(t)xo(t)xe(t)=xo(t)+xe(t)=21[x(t)+x(−t)]=21[x(t)−x(−t)]
1.1.5. 能量有限信号，功率有限信号，能量功率均无限信号
（1）有限区间内信号的能量和功率
连续时间信号 x ( t ) x(t) x(t) 在 t 1 ≤ t ≤ t 2 t_1 \le t \le t_2 t1≤t≤t2 内的能量和平均功率为
E t = ∫ t 1 t 2 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t P t = 1 t 2 − t 1 E t \begin{aligned} E_t &= \int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt\\ P_t &= \frac{1}{t_2-t_1} E_t \end{aligned} EtPt=∫t1t2∣x(t)∣2dt=t2−t11Et
离散时间信号 x [ n ] x[n] x[n] 在 n 1 ≤ n ≤ n 2 n_1 \le n \le n_2 n1≤n≤n2 内的能量和平均功率为
E n = ∑ n = n 1 n 2 ∣ x [ n ] ∣ 2 P n = 1 n 2 − n 1 + 1 E n \begin{aligned} E_n &= \sum_{n=n_1}^{n_2} |x[n]| ^2\\ P_n &= \frac{1}{n_2-n_1+1} E_n \end{aligned} EnPn=n=n1∑n2∣x[n]∣2=n2−n1+11En
【易错点】：
- 注意求信号的能量是对信号的模值的平方（特别是复数信号）；
- 求离散时间信号的平均功率注意序列的个数为 n 2 − n 1 + 1 n_2-n_1+1 n2−n1+1 而非 n 2 − n 1 n_2-n_1 n2−n1；
（2）无穷区间内信号的能量和功率
一般计算的对象是周期信号，计算的思路：先计算一/两个周期内（包含正负两个时间方向）信号的能量，再求极限。
对于连续时间信号：
E ∞ = lim T → + ∞ ∫ − T T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t P ∞ = lim T → + ∞ 1 2 T E T = lim T → + ∞ 1 2 T ∫ − T T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t \begin{aligned} E_\infty &= \lim_{T\to +\infty} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt\\ P_\infty &= \lim_{T\to +\infty} \frac{1}{2T} E_{_T} = \lim_{T\to +\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt \end{aligned} E∞P∞=T→+∞lim∫−TT∣x(t)∣2dt=∫−∞∞∣x(t)∣2dt=T→+∞lim2T1ET=T→+∞lim2T1∫−TT∣x(t)∣2dt
对于离散时间信号：
E ∞ = lim N → ∞ ∑ n = − N N ∣ x [ n ] ∣ 2 = ∑ n = − ∞ ∞ ∣ x [ n ] ∣ 2 P ∞ = lim N → ∞ 1 2 N + 1 E N = lim N → ∞ 1 2 N + 1 ∑ n = − N N ∣ x [ n ] ∣ 2 \begin{aligned} E_\infty &= \lim_{N\to \infty} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2\\ P_\infty &= \lim_{N\to \infty} \frac{1}{2N+1} E_{_N} = \lim_{N\to \infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 \end{aligned} E∞P∞=N→∞limn=−N∑N∣x[n]∣2=n=−∞∑∞∣x[n]∣2=N→∞lim2N+11EN=N→∞lim2N+11n=−N∑N∣x[n]∣2
（3）根据信号的能量和功率进行分类
- 能量有限信号 E ∞ < ∞ E_\infty < \infty E∞<∞，平均功率必为0，一般是持续时间信号有限的信号
- 功率有限信号 P ∞ < ∞ P_\infty < \infty P∞<∞，信号的能量为无穷，一般是持续时间无限的周期信号
- 能量和功率均无限信号，诸如 x ( t ) = t x(t)=t x(t)=t 等信号
1.1.6. (反)因果信号、非因果信号
因果信号： 信号在0时刻以前没有信号（或0时刻接入）
f ( t ) ≡ 0 , t < 0 f(t) \equiv 0, t < 0 f(t)≡0,t<0
反因果信号: $f(t) \equiv 0, t > 0
$
非因果信号： 信号在0时刻以前不等于0
f
(
t
)
≠
0
,
t
<
0
f(t) \not = 0, t < 0
f(t)=0,t<0
1.1.7. 左边信号、右边信号和双边信号
右边信号： 信号只在某个时间点右边有
f ( t ) ≡ 0 , t < t 0 f(t) \equiv 0, t < t_0 f(t)≡0,t<t0
左边信号： 信号只在某个时间点左边有
f ( t ) ≡ 0 , t > t 0 f(t) \equiv 0, t > t_0 f(t)≡0,t>t0
双边信号： 既不是左边信号，又不是右边信号
1.2. 典型信号的特点
连续时间的复指数信号形式如下：
x
(
t
)
=
C
e
a
t
x(t) = Ce^{at}
x(t)=Ceat
其中，
C
C
C 和
a
a
a 均为复数。
1.2.1. 实指数信号
当
C
C
C 和
a
a
a 均为实数，则
a
a
a 的正负决定波形的单调性。
1.2.2. 虚指数信号
C C C 为实数， a a a 为纯虚数的信号，例如周期复指数信号为 x ( t ) = e j w t x(t) = e^{jwt} x(t)=ejwt
1.2.3. 一般的复指数信号
C
C
C 和
a
a
a 至少有一个为复数的信号。设
C
=
∣
C
∣
e
j
θ
C = |C|e^{j\theta}
C=∣C∣ejθ 和
a
=
r
+
j
w
a=r+jw
a=r+jw，由欧拉公式有
C
e
a
t
=
∣
C
∣
e
j
θ
e
(
r
+
j
w
)
t
=
∣
C
∣
e
r
t
e
j
(
w
t
+
θ
)
=
∣
C
∣
e
r
t
cos
(
w
t
+
θ
)
+
j
∣
C
∣
e
r
t
sin
(
w
t
+
θ
)
Ce^{at} = |C|e^{j\theta} e^{(r+jw)t}=|C|e^{rt}e^{j(wt + \theta)} = |C|e^{rt} \cos(wt+\theta) + j |C|e^{rt} \sin(wt+\theta)
Ceat=∣C∣ejθe(r+jw)t=∣C∣ertej(wt+θ)=∣C∣ertcos(wt+θ)+j∣C∣ertsin(wt+θ)
1.2.4. 离散时间的单位脉冲信号和单位阶跃信号
（1）单位脉冲
δ [ n ] = { 0 , n ≠ 0 1 , n = 0 \delta[n] = \begin{cases} 0, & n \not = 0\\ 1, & n = 0 \end{cases} δ[n]={0,1,n=0n=0
（2）单位阶跃
u [ n ] = { 0 , n < 0 1 , n ≥ 0 u[n] = \begin{cases} 0, & n < 0\\ 1, & n \ge 0 \end{cases} u[n]={0,1,n<0n≥0
（3）离散时间单位脉冲信号和单位阶跃信号的关系
δ
[
n
]
=
u
[
n
]
−
u
[
n
−
1
]
=
▽
u
[
n
]
\delta[n] = u[n] - u[n-1] = \triangledown u[n]
δ[n]=u[n]−u[n−1]=▽u[n]
▽ f ( k ) = f ( k ) − f ( k − 1 ) \triangledown f(k) = f(k)-f(k-1) ▽f(k)=f(k)−f(k−1) 表示后向差分， △ f ( k ) = f ( k + 1 ) − f ( k ) \triangle f(k) = f(k+1)-f(k) △f(k)=f(k+1)−f(k) 表示前向差分。
u [ n ] = ∑ m = − ∞ n δ [ m ] u[n] = \sum_{m=-\infty}^{n} \delta[m] u[n]=m=−∞∑nδ[m]
单位脉冲和单位阶跃信号为求和和差分的关系，两者互为逆运算。单位阶跃信号可以表示为
u
[
n
]
=
∑
m
=
0
+
∞
δ
[
n
−
m
]
u[n] = \sum_{m=0}^{+\infty} \delta[n-m]
u[n]=m=0∑+∞δ[n−m]
【注意】
- 和连续时间单位阶跃信号不同，离散时间段额单位阶跃信号在 n = 0 n=0 n=0 处是有定义的
- 矩形序列可以表示的为两个单位阶跃信号相减，例如 u [ n − a ] − u [ n − b ] u[n-a]-u[n-b] u[n−a]−u[n−b] 其实表示的是从 a ∼ b − 1 a \sim b-1 a∼b−1 的单位脉冲，而非 a ∼ b a \sim b a∼b
1.2.5. 连续时间的单位冲激信号和单位阶跃信号
（1）单位阶跃信号
u
(
t
)
=
{
0
,
t
<
0
1
,
t
>
0
u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0\\ 1, & t > 0 \end{cases}
u(t)={0,1,t<0t>0
（2）单位冲激信号与单位阶跃信号的关系
u
(
t
)
=
∫
−
∞
t
δ
(
τ
)
d
τ
u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau
u(t)=∫−∞tδ(τ)dτ
δ
(
t
)
=
d
u
(
t
)
d
t
\delta(t) = \frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d}t}
δ(t)=dtdu(t)
【注意】
- 一般是不讨论的 u ( t ) u(t) u(t) 在 t = 0 t=0 t=0 处的值，或者认为 u ( 0 ) = 1 2 [ u ( 0 + ) + u ( 0 − ) = 0.5 u(0) = \frac{1}{2}[u(0^+)+u(0^-)=0.5 u(0)=21[u(0+)+u(0−)=0.5
- u ( t ) u(t) u(t)的 t = 0 t=0 t=0处就是一个间断点，对其求导可以得到一个冲激信号，其冲激强度为 u ( 0 + ) − u ( 0 − ) u(0^+)-u(0^-) u(0+)−u(0−)
- δ ( t ) \delta(t) δ(t)和 δ ′ ( t ) \delta^\prime(t) δ′(t)的性质
1.3. 信号的运算
1.3.1. 信号的(独)自变量的运算
时移
x
(
t
)
x(t)
x(t) 向左平移 2 个时间单位，得到
x
(
t
+
2
)
x(t+2)
x(t+2)；
x
(
t
)
x(t)
x(t) 向右平移 1 个时间单位，得到
x
(
t
−
1
)
x(t-1)
x(t−1)；
x
(
2
t
)
x(2t)
x(2t) 向左平移 3 个时间单位，得到
x
[
2
(
t
+
3
)
]
=
x
(
2
t
+
6
)
x[2(t+3)]=x(2t+6)
x[2(t+3)]=x(2t+6)；
x
(
2
t
)
x(2t)
x(2t) 向y右平移 1 个时间单位，得到
x
[
2
(
t
−
1
)
]
=
x
(
2
t
−
2
)
x[2(t-1)]=x(2t-2)
x[2(t−1)]=x(2t−2)；
时间反转
x
(
t
)
x(t)
x(t) 反褶得到
x
(
−
t
)
x(-t)
x(−t)；
x
(
2
t
)
x(2t)
x(2t) 反褶得到
x
(
−
2
t
)
x(-2t)
x(−2t)；
x
(
2
t
+
3
)
x(2t+3)
x(2t+3) 反褶得到
x
(
−
2
t
+
3
)
x(-2t+3)
x(−2t+3)；
扩展与压缩
若 ∣ a ∣ > 1 |a| > 1 ∣a∣>1，则变换后的信号 x ( a t ) x(at) x(at) 是 x ( t ) x(t) x(t) 在时间轴上压缩 1 / ∣ a ∣ 1/|a| 1/∣a∣ 倍的结果；若 ∣ a ∣ < 1 |a|<1 ∣a∣<1，则变换后的信号 x ( a t ) x(at) x(at) 是 x ( t ) x(t) x(t) 在时间轴上扩展 ∣ a ∣ |a| ∣a∣ 倍的结果。
一般情况下，扩展变换不会改变信号的最大值和最小值，但是对于冲激函数，需要使用展缩特性修改其强度。（扩展导致的面积增大，强度增强，反之强度减小）
1.3.2. 信号的微积分运算
微分运算 通常用符号 d x ( t ) d t \frac{dx(t)}{dt} dtdx(t)表示。
【问】：如何处理信号微分运算的间断点，不可导点？
设该间断点为 t 0 t_0 t0，则在该点的导数为一个冲激函数 k δ ( t − t 0 ) k\delta(t-t_0) kδ(t−t0)，其强度为 k = x ( t 0 + ) − x ( t 0 − ) k=x(t_0^+)-x(t_0^-) k=x(t0+)−x(t0−)。
有部分信号不存在间断点，但是存在不可导点，如 x ( t ) = ∣ t ∣ x(t) = |t| x(t)=∣t∣ 在 t = 0 t=0 t=0 处不连续，按照上述定义，其在 t = 0 t=0 t=0 的冲激强度为 0。
1.3.3. 信号的卷积运算
卷积运算具有交换律，结合律，分配律、微积分特性和时不变性。
交换律: f ( t ) ∗ g ( t ) = g ( t ) ∗ f ( t ) f(t)*g(t) = g(t) * f(t) f(t)∗g(t)=g(t)∗f(t)
结合律： [ f ( t ) ∗ g ( t ) ] ∗ h ( t ) = f ( t ) ∗ [ g ( t ) ∗ h ( t ) ] [f(t)*g(t)]*h(t) = f(t) * [g(t) * h(t)] [f(t)∗g(t)]∗h(t)=f(t)∗[g(t)∗h(t)]
分配律： f ( t ) ∗ [ g ( t ) + h ( t ) ] = f ( t ) ∗ g ( t ) + f ( t ) ∗ h ( t ) f(t)*[g(t) + h(t)] = f(t)*g(t) + f(t)*h(t) f(t)∗[g(t)+h(t)]=f(t)∗g(t)+f(t)∗h(t)
时不变性：
s
(
t
)
=
f
(
t
)
∗
g
(
t
)
s
(
t
−
t
1
−
t
2
)
=
f
(
t
−
t
1
)
∗
g
(
t
−
t
2
)
\begin{aligned} s(t) &= f(t)*g(t)\\ s(t-t_1-t_2) &= f(t-t_1) * g(t-t_2) \end{aligned}
s(t)s(t−t1−t2)=f(t)∗g(t)=f(t−t1)∗g(t−t2)
微积分特性：（要求卷积信号在 − ∞ -\infty −∞ 上的值为0）
d f ( t ) d t ∗ g ( t ) = f ( t ) ∗ d g ( t ) d t = d d t [ f ( t ) ∗ g ( t ) ] ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ ∗ g ( t ) = f ( t ) ∗ ∫ − ∞ t g ( τ ) d τ = ∫ − ∞ t [ f ( τ ) ∗ g ( τ ) ] d τ f ( t ) ∗ g ( t ) = ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ ∗ d g ( t ) d t \begin{aligned} \frac{d f(t)}{dt} * g(t) &= f(t) * \frac{d g(t)}{dt} = \frac{d }{dt}[f(t) * g(t)]\\ \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau * g(t) &= f(t) * \int_{-\infty}^{t} g(\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{t} [f(\tau) * g(\tau)] d\tau\\ f(t) * g(t) &= \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau * \frac{dg(t)}{dt} \end{aligned} dtdf(t)∗g(t)∫−∞tf(τ)dτ∗g(t)f(t)∗g(t)=f(t)∗dtdg(t)=dtd[f(t)∗g(t)]=f(t)∗∫−∞tg(τ)dτ=∫−∞t[f(τ)∗g(τ)]dτ=∫−∞tf(τ)dτ∗dtdg(t)