信号与系统01 信号知识点

1. 信号知识点


1.1. 信号的分类

1.1.1. 确定信号和随机信号

确定信号:信号是关于时间的一个函数
随机信号:每一时刻信号的值服从一定的概率分布

1.1.2. 连续时间信号和离散时间信号

模拟信号:时间连续,取值连续
阶梯信号:时间连续,取值离散
抽样信号:时间离散,取值连续
数字信号:时间离散,取值离散

1.1.3. 周期信号和非周期信号

对于连续时间信号,周期信号 x ( t ) x(t) x(t) 的数学表示为
x ( t ) = x ( t + k T 0 ) , k ∈ Z x(t) = x(t + kT_0), k \in Z x(t)=x(t+kT0​),k∈Z
其中, T 0 T_0 T0​ 为基波周期,基波频率定义为 f 0 = 1 / T 0 f_0 = 1/T_0 f0​=1/T0​,基波角频率定位为 w 0 = 2 π f 0 = 2 π / T 0 w_0 = 2\pi f_0 = 2\pi / T_0 w0​=2πf0​=2π/T0​。

对于离散时间周期信号,定义为
x [ n ] = x [ n + m N 0 ] , m ∈ Z x[n] = x[n + mN_0], m \in Z x[n]=x[n+mN0​],m∈Z
其中基波周期 N 0 N_0 N0​ 只能取整数(由于离散信号只能在整数时刻取值)。

直流信号的周期未定义,周期可以是任意值。

:两个周期信号之和一定是周期信号吗?
对于连续时间信号,必须要求两个周期 T 1 T_1 T1​和 T 2 T_2 T2​存在公倍数( ∃ n 1 , n 2 ∈ Z , T 1 n 1 = T 2 n 2 \exist n_1, n_2 \in Z, T_1 n_1 = T_2 n_2 ∃n1​,n2​∈Z,T1​n1​=T2​n2​),则两信号之和仍为周期信号,周期为 T 1 T_1 T1​和 T 2 T_2 T2​的最小公倍数;
对于离散时间信号,两周期序列之和必是周期序列(离散时间信号的周期为正整数,两正整数之间总存在最小公倍数)。

连续时间与离散时间的虚指数信号的对比

  • e j w t e^{jwt} ejwt 是周期信号,周期为 T = 2 π w T=\frac{2\pi}{w} T=w2π​,频率与信号是一一对应的,且振荡频率随 w w w 单调变化。

  • e j w n e^{jwn} ejwn 不一定是周期信号(必须满足 w w w 为 2 π 2\pi 2π 的有理数倍才为周期信号), w , w + 2 π , w + 4 π , ⋯ w, w+2\pi, w+4\pi,\cdots w,w+2π,w+4π,⋯ 对应的是同一个信号。当 w = π w=\pi w=π 信号达到最高频率,当 w = 0 , 2 π w=0,2\pi w=0,2π 信号达到最低频率。

1.1.4. 对称信号和非对称信号

奇信号

x ( t ) = − x ( − t ) ,   x [ n ] = − x [ − n ] x(t) = -x(-t), \ x[n] = -x[-n] x(t)=−x(−t), x[n]=−x[−n]

偶信号

x ( t ) = x ( − t ) ,   x [ n ] = x [ − n ] x(t) = x(-t), \ x[n] = x[-n] x(t)=x(−t), x[n]=x[−n]

奇谐信号 信号平移半个周期后,与原信号相加为0

x ( t ) + x ( t + T 2 ) = 0 ,   x [ n ] + x [ n + N 2 ] = 0 x(t) + x(t + \frac{T}{2}) = 0,\ x[n] + x[n + \frac{N}{2}] = 0 x(t)+x(t+2T​)=0, x[n]+x[n+2N​]=0

偶谐信号 信号平移半个周期 T / 2 T/2 T/2后,与原信号相同(本身的周期为 T / 2 T/2 T/2)

x ( t ) = x ( t + T 2 ) ,   x [ n ] = x [ n + N 2 ] x(t) = x(t + \frac{T}{2}),\ x[n] = x[n + \frac{N}{2}] x(t)=x(t+2T​), x[n]=x[n+2N​]

任意一个信号 x ( t ) x(t) x(t) / x [ n ] x[n] x[n] 均可以分解为奇信号分量 x o ( t ) x_o(t) xo​(t)和偶信号分量 x e ( t ) x_e(t) xe​(t)之和,即
x ( t ) = x o ( t ) + x e ( t ) x o ( t ) = 1 2 [ x ( t ) + x ( − t ) ] x e ( t ) = 1 2 [ x ( t ) − x ( − t ) ] \begin{aligned} x(t) &= x_o(t) + x_e(t)\\ x_o(t) &= \frac{1}{2}[x(t) + x(-t)]\\ x_e(t) &= \frac{1}{2}[x(t) - x(-t)]\\ \end{aligned} x(t)xo​(t)xe​(t)​=xo​(t)+xe​(t)=21​[x(t)+x(−t)]=21​[x(t)−x(−t)]​

1.1.5. 能量有限信号,功率有限信号,能量功率均无限信号

(1)有限区间内信号的能量和功率

连续时间信号 x ( t ) x(t) x(t) 在 t 1 ≤ t ≤ t 2 t_1 \le t \le t_2 t1​≤t≤t2​ 内的能量和平均功率为

E t = ∫ t 1 t 2 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t P t = 1 t 2 − t 1 E t \begin{aligned} E_t &= \int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt\\ P_t &= \frac{1}{t_2-t_1} E_t \end{aligned} Et​Pt​​=∫t1​t2​​∣x(t)∣2dt=t2​−t1​1​Et​​

离散时间信号 x [ n ] x[n] x[n] 在 n 1 ≤ n ≤ n 2 n_1 \le n \le n_2 n1​≤n≤n2​ 内的能量和平均功率为

E n = ∑ n = n 1 n 2 ∣ x [ n ] ∣ 2 P n = 1 n 2 − n 1 + 1 E n \begin{aligned} E_n &= \sum_{n=n_1}^{n_2} |x[n]| ^2\\ P_n &= \frac{1}{n_2-n_1+1} E_n \end{aligned} En​Pn​​=n=n1​∑n2​​∣x[n]∣2=n2​−n1​+11​En​​

易错点】:

  1. 注意求信号的能量是对信号的模值的平方(特别是复数信号);
  2. 求离散时间信号的平均功率注意序列的个数为 n 2 − n 1 + 1 n_2-n_1+1 n2​−n1​+1 而非 n 2 − n 1 n_2-n_1 n2​−n1​;

(2)无穷区间内信号的能量和功率

一般计算的对象是周期信号,计算的思路:先计算一/两个周期内(包含正负两个时间方向)信号的能量,再求极限。

对于连续时间信号:

E ∞ = lim ⁡ T → + ∞ ∫ − T T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t P ∞ = lim ⁡ T → + ∞ 1 2 T E T = lim ⁡ T → + ∞ 1 2 T ∫ − T T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t \begin{aligned} E_\infty &= \lim_{T\to +\infty} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt\\ P_\infty &= \lim_{T\to +\infty} \frac{1}{2T} E_{_T} = \lim_{T\to +\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt \end{aligned} E∞​P∞​​=T→+∞lim​∫−TT​∣x(t)∣2dt=∫−∞∞​∣x(t)∣2dt=T→+∞lim​2T1​ET​​=T→+∞lim​2T1​∫−TT​∣x(t)∣2dt​

对于离散时间信号:

E ∞ = lim ⁡ N → ∞ ∑ n = − N N ∣ x [ n ] ∣ 2 = ∑ n = − ∞ ∞ ∣ x [ n ] ∣ 2 P ∞ = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 E N = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 ∑ n = − N N ∣ x [ n ] ∣ 2 \begin{aligned} E_\infty &= \lim_{N\to \infty} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2\\ P_\infty &= \lim_{N\to \infty} \frac{1}{2N+1} E_{_N} = \lim_{N\to \infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 \end{aligned} E∞​P∞​​=N→∞lim​n=−N∑N​∣x[n]∣2=n=−∞∑∞​∣x[n]∣2=N→∞lim​2N+11​EN​​=N→∞lim​2N+11​n=−N∑N​∣x[n]∣2​

(3)根据信号的能量和功率进行分类

  1. 能量有限信号 E ∞ < ∞ E_\infty < \infty E∞​<∞,平均功率必为0,一般是持续时间信号有限的信号
  2. 功率有限信号 P ∞ < ∞ P_\infty < \infty P∞​<∞,信号的能量为无穷,一般是持续时间无限的周期信号
  3. 能量和功率均无限信号,诸如 x ( t ) = t x(t)=t x(t)=t 等信号

1.1.6. (反)因果信号、非因果信号

因果信号: 信号在0时刻以前没有信号(或0时刻接入)

f ( t ) ≡ 0 , t < 0 f(t) \equiv 0, t < 0 f(t)≡0,t<0

反因果信号: $f(t) \equiv 0, t > 0
$

非因果信号: 信号在0时刻以前不等于0
f ( t ) ≠ 0 , t < 0 f(t) \not = 0, t < 0 f(t)​=0,t<0

1.1.7. 左边信号、右边信号和双边信号

右边信号: 信号只在某个时间点右边有

f ( t ) ≡ 0 , t < t 0 f(t) \equiv 0, t < t_0 f(t)≡0,t<t0​

左边信号: 信号只在某个时间点左边有

f ( t ) ≡ 0 , t > t 0 f(t) \equiv 0, t > t_0 f(t)≡0,t>t0​

双边信号: 既不是左边信号,又不是右边信号

1.2. 典型信号的特点

连续时间的复指数信号形式如下:
x ( t ) = C e a t x(t) = Ce^{at} x(t)=Ceat
其中, C C C 和 a a a 均为复数。

1.2.1. 实指数信号

当 C C C 和 a a a 均为实数,则 a a a 的正负决定波形的单调性。
信号与系统01 信号知识点

1.2.2. 虚指数信号

C C C 为实数, a a a 为纯虚数的信号,例如周期复指数信号为 x ( t ) = e j w t x(t) = e^{jwt} x(t)=ejwt

1.2.3. 一般的复指数信号

C C C 和 a a a 至少有一个为复数的信号。设 C = ∣ C ∣ e j θ C = |C|e^{j\theta} C=∣C∣ejθ 和 a = r + j w a=r+jw a=r+jw,由欧拉公式有
C e a t = ∣ C ∣ e j θ e ( r + j w ) t = ∣ C ∣ e r t e j ( w t + θ ) = ∣ C ∣ e r t cos ⁡ ( w t + θ ) + j ∣ C ∣ e r t sin ⁡ ( w t + θ ) Ce^{at} = |C|e^{j\theta} e^{(r+jw)t}=|C|e^{rt}e^{j(wt + \theta)} = |C|e^{rt} \cos(wt+\theta) + j |C|e^{rt} \sin(wt+\theta) Ceat=∣C∣ejθe(r+jw)t=∣C∣ertej(wt+θ)=∣C∣ertcos(wt+θ)+j∣C∣ertsin(wt+θ)

1.2.4. 离散时间的单位脉冲信号和单位阶跃信号

(1)单位脉冲

δ [ n ] = { 0 , n ≠ 0 1 , n = 0 \delta[n] = \begin{cases} 0, & n \not = 0\\ 1, & n = 0 \end{cases} δ[n]={0,1,​n​=0n=0​

(2)单位阶跃

u [ n ] = { 0 , n < 0 1 , n ≥ 0 u[n] = \begin{cases} 0, & n < 0\\ 1, & n \ge 0 \end{cases} u[n]={0,1,​n<0n≥0​

(3)离散时间单位脉冲信号和单位阶跃信号的关系
δ [ n ] = u [ n ] − u [ n − 1 ] = ▽ u [ n ] \delta[n] = u[n] - u[n-1] = \triangledown u[n] δ[n]=u[n]−u[n−1]=▽u[n]

▽ f ( k ) = f ( k ) − f ( k − 1 ) \triangledown f(k) = f(k)-f(k-1) ▽f(k)=f(k)−f(k−1) 表示后向差分, △ f ( k ) = f ( k + 1 ) − f ( k ) \triangle f(k) = f(k+1)-f(k) △f(k)=f(k+1)−f(k) 表示前向差分。

u [ n ] = ∑ m = − ∞ n δ [ m ] u[n] = \sum_{m=-\infty}^{n} \delta[m] u[n]=m=−∞∑n​δ[m]

单位脉冲和单位阶跃信号为求和和差分的关系,两者互为逆运算。单位阶跃信号可以表示为
u [ n ] = ∑ m = 0 + ∞ δ [ n − m ] u[n] = \sum_{m=0}^{+\infty} \delta[n-m] u[n]=m=0∑+∞​δ[n−m]
注意

  1. 和连续时间单位阶跃信号不同,离散时间段额单位阶跃信号在 n = 0 n=0 n=0 处是有定义的
  2. 矩形序列可以表示的为两个单位阶跃信号相减,例如 u [ n − a ] − u [ n − b ] u[n-a]-u[n-b] u[n−a]−u[n−b] 其实表示的是从 a ∼ b − 1 a \sim b-1 a∼b−1 的单位脉冲,而非 a ∼ b a \sim b a∼b

1.2.5. 连续时间的单位冲激信号和单位阶跃信号

(1)单位阶跃信号
u ( t ) = { 0 , t < 0 1 , t > 0 u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0\\ 1, & t > 0 \end{cases} u(t)={0,1,​t<0t>0​
(2)单位冲激信号与单位阶跃信号的关系
u ( t ) = ∫ − ∞ t δ ( τ ) d τ u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau u(t)=∫−∞t​δ(τ)dτ
δ ( t ) = d u ( t ) d t \delta(t) = \frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d}t} δ(t)=dtdu(t)​

注意

  1. 一般是不讨论的 u ( t ) u(t) u(t) 在 t = 0 t=0 t=0 处的值,或者认为 u ( 0 ) = 1 2 [ u ( 0 + ) + u ( 0 − ) = 0.5 u(0) = \frac{1}{2}[u(0^+)+u(0^-)=0.5 u(0)=21​[u(0+)+u(0−)=0.5
  2. u ( t ) u(t) u(t)的 t = 0 t=0 t=0处就是一个间断点,对其求导可以得到一个冲激信号,其冲激强度为 u ( 0 + ) − u ( 0 − ) u(0^+)-u(0^-) u(0+)−u(0−)
  3. δ ( t ) \delta(t) δ(t) δ ′ ( t ) \delta^\prime(t) δ′(t)的性质

1.3. 信号的运算

1.3.1. 信号的(独)自变量的运算

时移

x ( t ) x(t) x(t) 向左平移 2 个时间单位,得到 x ( t + 2 ) x(t+2) x(t+2);
x ( t ) x(t) x(t) 向右平移 1 个时间单位,得到 x ( t − 1 ) x(t-1) x(t−1);
x ( 2 t ) x(2t) x(2t) 向左平移 3 个时间单位,得到 x [ 2 ( t + 3 ) ] = x ( 2 t + 6 ) x[2(t+3)]=x(2t+6) x[2(t+3)]=x(2t+6);
x ( 2 t ) x(2t) x(2t) 向y右平移 1 个时间单位,得到 x [ 2 ( t − 1 ) ] = x ( 2 t − 2 ) x[2(t-1)]=x(2t-2) x[2(t−1)]=x(2t−2);

时间反转

x ( t ) x(t) x(t) 反褶得到 x ( − t ) x(-t) x(−t);
x ( 2 t ) x(2t) x(2t) 反褶得到 x ( − 2 t ) x(-2t) x(−2t);
x ( 2 t + 3 ) x(2t+3) x(2t+3) 反褶得到 x ( − 2 t + 3 ) x(-2t+3) x(−2t+3);

扩展与压缩

若 ∣ a ∣ > 1 |a| > 1 ∣a∣>1,则变换后的信号 x ( a t ) x(at) x(at) 是 x ( t ) x(t) x(t) 在时间轴上压缩 1 / ∣ a ∣ 1/|a| 1/∣a∣ 倍的结果;若 ∣ a ∣ < 1 |a|<1 ∣a∣<1,则变换后的信号 x ( a t ) x(at) x(at) 是 x ( t ) x(t) x(t) 在时间轴上扩展 ∣ a ∣ |a| ∣a∣ 倍的结果。

一般情况下,扩展变换不会改变信号的最大值和最小值,但是对于冲激函数,需要使用展缩特性修改其强度。(扩展导致的面积增大,强度增强,反之强度减小)

1.3.2. 信号的微积分运算

微分运算 通常用符号 d x ( t ) d t \frac{dx(t)}{dt} dtdx(t)​表示。

】:如何处理信号微分运算的间断点,不可导点?

设该间断点为 t 0 t_0 t0​,则在该点的导数为一个冲激函数 k δ ( t − t 0 ) k\delta(t-t_0) kδ(t−t0​),其强度为 k = x ( t 0 + ) − x ( t 0 − ) k=x(t_0^+)-x(t_0^-) k=x(t0+​)−x(t0−​)。

有部分信号不存在间断点,但是存在不可导点,如 x ( t ) = ∣ t ∣ x(t) = |t| x(t)=∣t∣ 在 t = 0 t=0 t=0 处不连续,按照上述定义,其在 t = 0 t=0 t=0 的冲激强度为 0。

1.3.3. 信号的卷积运算

卷积运算具有交换律,结合律,分配律、微积分特性和时不变性。

交换律: f ( t ) ∗ g ( t ) = g ( t ) ∗ f ( t ) f(t)*g(t) = g(t) * f(t) f(t)∗g(t)=g(t)∗f(t)

结合律: [ f ( t ) ∗ g ( t ) ] ∗ h ( t ) = f ( t ) ∗ [ g ( t ) ∗ h ( t ) ] [f(t)*g(t)]*h(t) = f(t) * [g(t) * h(t)] [f(t)∗g(t)]∗h(t)=f(t)∗[g(t)∗h(t)]

分配律: f ( t ) ∗ [ g ( t ) + h ( t ) ] = f ( t ) ∗ g ( t ) + f ( t ) ∗ h ( t ) f(t)*[g(t) + h(t)] = f(t)*g(t) + f(t)*h(t) f(t)∗[g(t)+h(t)]=f(t)∗g(t)+f(t)∗h(t)

时不变性
s ( t ) = f ( t ) ∗ g ( t ) s ( t − t 1 − t 2 ) = f ( t − t 1 ) ∗ g ( t − t 2 ) \begin{aligned} s(t) &= f(t)*g(t)\\ s(t-t_1-t_2) &= f(t-t_1) * g(t-t_2) \end{aligned} s(t)s(t−t1​−t2​)​=f(t)∗g(t)=f(t−t1​)∗g(t−t2​)​

微积分特性:(要求卷积信号在 − ∞ -\infty −∞ 上的值为0)

d f ( t ) d t ∗ g ( t ) = f ( t ) ∗ d g ( t ) d t = d d t [ f ( t ) ∗ g ( t ) ] ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ ∗ g ( t ) = f ( t ) ∗ ∫ − ∞ t g ( τ ) d τ = ∫ − ∞ t [ f ( τ ) ∗ g ( τ ) ] d τ f ( t ) ∗ g ( t ) = ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ ∗ d g ( t ) d t \begin{aligned} \frac{d f(t)}{dt} * g(t) &= f(t) * \frac{d g(t)}{dt} = \frac{d }{dt}[f(t) * g(t)]\\ \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau * g(t) &= f(t) * \int_{-\infty}^{t} g(\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{t} [f(\tau) * g(\tau)] d\tau\\ f(t) * g(t) &= \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau * \frac{dg(t)}{dt} \end{aligned} dtdf(t)​∗g(t)∫−∞t​f(τ)dτ∗g(t)f(t)∗g(t)​=f(t)∗dtdg(t)​=dtd​[f(t)∗g(t)]=f(t)∗∫−∞t​g(τ)dτ=∫−∞t​[f(τ)∗g(τ)]dτ=∫−∞t​f(τ)dτ∗dtdg(t)​​

上一篇:[Go] 内存缓存库对比, groupcache, go-cache, freecache, cache2go, fastcache


下一篇:linux使用FIO测试磁盘的iops