概率论基础_事件、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式

1. 事件

互斥事件-不可能同时发生的事件,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。满足A∩B = Φ、P(A∩B) = 0,则P(A∪B) = P(A) + P(B)且P(A) + P(B) ≤ 1。

对立事件-事件A与事件B不能同时发生,且事件A与事件B在任何一次试验中“必有一个发生”。满足A∩B = Φ、P(A∩B) = 0,A∪B = 样本空间E,则P(A∪B) = P(A) + P(B)且P(A) + P(B) =1。

(对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件)

穷举事件-试验所有可能结果事件。P(A∪B∪C) = 1。

相交事件-事件A和事件B有可能同时发生。P(A∩B) ≠ 0,则P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

相关事件(事件之间存在相关性)-事件之间互有影响:IF P(A|B) ≠ P(A) THEN 事件AB为相关事件。

独立事件(事件之间存在独立性)-事件之间互不影响:IF P(A|B) = P(A)  THEN 事件AB为独立事件,P(A∩B) = P(A) * P(B)。

Tips:

1.互斥事件不独立,互斥事件AB无交集且P(A∩B) = 0,独立事件AB存在交集且P(A∩B) = P(A) * P(B)。

2.判断两事件是独立事件还是相关事件:若P(A∩B) = P(A) * P(B) 则独立;若P(A∩B)≠ P(A) * P(B)则相关。

 

2. 条件概率

在已知事件B发生的前提下,事件A发生的概率:P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

 

3. 全概率公式

存在事件AB,事件B有两种发送方式:与事件A一起发送;不与事件A一起发生。

即:P(B) = P(A∩B) + P(A'∩B) = P(A) * P(B|A) + P(A') * P(B|A')

推广:

如果事件组B1,B2,.... 满足

  1.B1,B2....两两互斥,即 B∩ B= ∅ ,i≠j , i,j=1,2,....,且P(Bi)>0,i=1,2,....;

      2.B1∪B2∪....=Ω ,则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分。

P(A)  = P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn) = P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)

意义:全概率公式给我们提供了另外一种思路求事件A发生的概率,即事件A = AB.. AB的并集。通过求小事件的概率相加求得事件A发生的概率。

 

4. 贝叶斯公式

贝叶斯定理是用来描述两个条件概率P(A|B)和P(B|A)之间关系的定理,P(A∩B)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B),可以立刻导出P(B|A)=P(A|B)*P(B)/P(A)。

基于全概率公式得出贝叶斯公式:P(B|A)=(P(A|B) * P(B)) / P(A) = (P(A|B) * P(B)) / P(A|B)P(B)+P(A|B')P(B'))。

其中P(B) P(B')称作先验概率。通常在应用中,B和B'被认为导致事件A发生的原因,P(B|A)表示在已知事件A发生了的条件下是B所导致的概率,P(B)表示B原因发生的概率,P(A|B)表达B原因导致事件A发生的概率。

 

2020-04-24 22:45

上一篇:PTA(Basic Level)1034.有理数四则运算


下一篇:利用Vlookup函数在Excel中根据一列来筛选信息