1. 系统知识点
1.1. 系统的表示
- 箭头/方框表示 f ( t ) → y ( t ) f(t)\to y(t) f(t)→y(t)， f ( t ) → H → y ( t ) f(t)\to \boxed{H} \to y(t) f(t)→H→y(t)
- 算子表示 y ( t ) = H [ f ( t ) ] y(t)=H[f(t)] y(t)=H[f(t)]
- 数学模型表示（差分方程或微分方程）
1.2. 系统的分类
1.2.1. 连续/离散时间系统
将连续时间输入信号变换为连续时间的输出信号的系统，称为连续时间系统；
将离散时间输入信号变换为离散时间的输出信号的系统，称为离散时间系统。
1.2.2. 线性/非线性系统
线性系统满足3个条件：
-
系统具有分解性
系统的全响应可以分解为只由初始状态引起的零输入响应 y x ( t ) / y 0 [ n ] y_{_x}(t)/y_{_0}[n] yx(t)/y0[n]和只由输入引起的零状态响应 y f ( t ) / y x [ n ] y_{_f}(t)/y_{_x}[n] yf(t)/yx[n]之和，记为：
y ( t ) = y x ( t ) + y f ( t ) y [ n ] = y 0 [ n ] + y x [ n ] \begin{aligned} y(t) &= y_{_x}(t) + y_{_f}(t)\\ y[n] &= y_{_0}[n] + y_{_x}[n] \end{aligned} y(t)y[n]=yx(t)+yf(t)=y0[n]+yx[n] -
系统具有零输入线性
a y 1 ( 0 ) + b y 2 ( 0 ) → a y x 1 ( 0 ) + b y x 2 ( 0 ) a y 1 [ 0 ] + b y 2 [ 0 ] → a y 0 1 [ 0 ] + b y 0 2 [ 0 ] \begin{aligned} ay_1(0) + by_2(0) &\to ay_{x_1}(0) + by_{x_2}(0) \\ ay_1[0] + by_2[0] &\to ay_{_{0_1}}[0] + by_{_{0_2}}[0] \\ \end{aligned} ay1(0)+by2(0)ay1[0]+by2[0]→ayx1(0)+byx2(0)→ay01[0]+by02[0]
-
系统具有零状态线性
a x 1 ( t ) + b x 2 ( t ) → a y f 1 ( t ) + b y f 2 ( t ) a x 1 [ n ] + b x 2 [ n ] → a y x 1 [ n ] + b y x 2 [ n ] \begin{aligned} ax_1(t) + bx_2(t) &\to ay_{_{f_1}}(t) + by_{_{f_2}}(t) \\ ax_1[n] + bx_2[n] &\to ay_{_{x_1}}[n] + by_{_{x_2}}[n] \\ \end{aligned} ax1(t)+bx2(t)ax1[n]+bx2[n]→ayf1(t)+byf2(t)→ayx1[n]+byx2[n]
【例】
- 典型的不满足可分解性的例子就有：
y
(
t
)
=
y
(
0
)
x
(
t
)
y(t) = y(0)x(t)
y(t)=y(0)x(t)
一般的时候会遇到零输入响应为0的情况，此时只需判断的零状态响应线性即可（如 y ( t ) = t f ( t ) y(t)=tf(t) y(t)=tf(t) ）。
但是如果零输入响应为一个非零的常数（此时不满足线性），则此系统为增量线性系统（假设满足零状态响应线性），仍属于非线性系统。 - 根据定义很容易判断零输入/零状态是否线性，比如常见的 y ( t ) = f 2 ( t ) y(t)=f^2(t) y(t)=f2(t) 就是典型的非线性，另外像微分算子 y ( t ) = d f ( t ) d x y(t)=\frac{df(t)}{dx} y(t)=dxdf(t)，积分算子 y ( t ) = ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ y(t)=\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau y(t)=∫−∞tf(τ)dτ 都是的线性算子。
1.2.3. 时变/时不变系统
系统的时不变性指的是：输入信号在时间上有一个平移，系统的零状态响应也会产生一个同样的时间上的平移，即：
如果
f
(
t
)
→
y
f
(
t
)
f(t)\to y_{_f}(t)
f(t)→yf(t)，则
f
(
t
−
t
0
)
→
y
f
(
t
−
t
0
)
f(t-t_0) \to y_{_f}(t-t_0)
f(t−t0)→yf(t−t0)或
如果
x
[
n
]
→
y
x
[
n
]
x[n]\to y_{_x}[n]
x[n]→yx[n]，则
x
[
n
−
n
0
]
→
y
x
[
n
−
n
0
]
x[n-n_0]\to y_{_x}[n-n_0]
x[n−n0]→yx[n−n0]；
【注意】 特别小心这种“时间反转、扩展压缩”的信号，如：
y
(
t
)
=
x
(
a
t
)
，
如
{
y
(
t
)
=
x
(
2
t
)
y
(
t
)
=
x
(
−
t
)
均
为
时
移
系
统
,
{
y
(
t
)
=
∫
−
∞
2
t
x
(
τ
)
d
τ
为
时
移
系
统
y
(
t
)
=
∫
−
∞
t
x
(
τ
)
d
τ
为
时
不
变
系
统
；
\begin{aligned} & y(t) = x(at)，如 \begin{cases} y(t) = x(2t)\\ y(t) = x(-t) \end{cases} 均为时移系统,\\ & \begin{cases} y(t) = \int_{-\infty}^{2t} x(\tau) d\tau 为时移系统\\ y(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau 为时不变系统\\ \end{cases}； \end{aligned}
y(t)=x(at)，如{y(t)=x(2t)y(t)=x(−t)均为时移系统,{y(t)=∫−∞2tx(τ)dτ为时移系统y(t)=∫−∞tx(τ)dτ为时不变系统；
还有一种就是“输入信号与时间函数”的乘积，如
y
(
t
)
=
t
f
(
t
)
,
y
(
t
)
=
sin
(
t
)
f
(
t
)
y(t)=tf(t), y(t)=\sin(t)f(t)
y(t)=tf(t),y(t)=sin(t)f(t) 等均是时移系统。
1.2.4. 因果/非因果系统
因果系统的当前输出只与当前时刻或当前时刻之前的输入有关，而与未来的输入无关，又称为“物理可实现系统”。
非因果系统的输出与未来的时刻的输入有关。
【注意】 从定义上很容易判断出，注意几个特殊的：
-
“时间反转、扩展压缩”的信号
y ( t ) = f ( a t ) { y ( t ) = f ( 2 t ) , y ( 1 ) = f ( 2 ) y ( t ) = f ( 1 2 t ) , y ( − 1 ) = f ( − 1 2 ) y ( t ) = f ( − t ) , y ( − 1 ) = f ( 1 ) y ( t ) = f ( − 1 2 t ) , y ( − 1 ) = f ( 1 2 ) y ( t ) = f ( − 2 t ) , y ( − 1 ) = f ( 2 ) } 非 因 果 y(t)=f(at) \begin{Bmatrix} y(t) = f(2t),& y(1) = f(2)\\ y(t) = f(\frac{1}{2}t),& y(-1) = f(-\frac{1}{2})\\ y(t) = f(-t),& y(-1) = f(1)\\ y(t) = f(-\frac{1}{2}t),& y(-1)=f(\frac{1}{2})\\ y(t) = f(-2t),& y(-1)=f(2)\\ \end{Bmatrix} 非因果 y(t)=f(at)⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧y(t)=f(2t),y(t)=f(21t),y(t)=f(−t),y(t)=f(−21t),y(t)=f(−2t),y(1)=f(2)y(−1)=f(−21)y(−1)=f(1)y(−1)=f(21)y(−1)=f(2)⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎫非因果 -
微分、差分等运算
y ( t ) = d f ( t ) d t = lim Δ t → 0 f ( t + Δ t ) − f ( t ) Δ t , Δ t 可 正 可 负 ， 故 为 非 因 果 系 统 ； y [ n ] = Δ x [ n ] = x [ n + 1 ] − x [ n ] ， 前 向 差 分 为 非 因 果 系 统 ； y [ n ] = ▽ x [ n ] = x [ n ] − x [ n − 1 ] ， 后 向 差 分 为 因 果 系 统 ； y ( t ) = ∫ − ∞ 2 t f ( τ ) d τ ， 时 间 压 缩 了 ， 也 是 非 因 果 系 统 。 \begin{aligned} y(t) &= \frac{df(t)}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}, \Delta t 可正可负，故为非因果系统；\\ y[n] &= \Delta x[n] = x[n+1] - x[n]，前向差分为非因果系统；\\ y[n] &= \triangledown x[n] = x[n] - x[n-1]，后向差分为因果系统；\\ y(t) &= \int_{-\infty}^{2t} f(\tau) d\tau ，时间压缩了，也是非因果系统。 \end{aligned} y(t)y[n]y[n]y(t)=dtdf(t)=Δt→0limΔtf(t+Δt)−f(t),Δt可正可负，故为非因果系统；=Δx[n]=x[n+1]−x[n]，前向差分为非因果系统；=▽x[n]=x[n]−x[n−1]，后向差分为因果系统；=∫−∞2tf(τ)dτ，时间压缩了，也是非因果系统。
1.2.5. 稳定/非稳定系统
对于任意一个有界输入，输出也有界的系统为稳定系统。
1.2.6. 记忆/无记忆系统
-
无记忆系统
系统的输出信号只取决于当前时刻的激励信号，而与过去的工作状态无关（如纯电阻电路）
-
有记忆系统
系统的输出信号不仅取决于当前时刻的激励信号，而与过去的输入有关（如含有电感，电容的电路）
1.3. 系统的互联
-
串联
-
并联
-
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