[gym102978C] Count Min Ratio

给定 \(B\) 个蓝色的球、 \(R\) 个红色的球以及一个绿色的球，同颜色的球不可区分。对于一种球的排列方式，记 \(l_B,r_B,l_R,r_R\) 表示球左/右变的蓝/红色球个数，则该排列的权值为 \(\max \{x | l_B\times x\le l_R,r_B\times x\le r_R\}\) 。求所有排列的权值和。

\(1\le B\le 10^6,1\le R\le 10^{18}\)

Solution

枚举绿球左边的红蓝球个数：

\[\begin{aligned}&\sum_{b=0}^{B}\sum_{r=0}^{R}\binom{b+r}{b}\binom{(B-b)+(R-r)}{B-b}\min (\frac{r}{b},\frac{R-r}{B-b})\\&=\sum_{A=1}^{R/B}\sum_{b=0}^{B}\sum_{r=0}^{R}\binom{b+r}{b}\binom{(B-b)+(R-r)}{B-b}[bA\le r][(B-b)A\le R-r]\\&=\sum_{A=1}^{R/B}\sum_{b=0}^{B}\sum_{r=0}^{R}\binom{b+r}{b}\binom{(B-b)+(R-r)}{B-b}[r-bA\ge 0][r-bA\le R-AB]\\&=\sum_{A=1}^{R/B}\sum_{P=r-bA=0}^{R-AB}\sum_{b=0}^{B}\binom{b+r}{b}\binom{(B-b)+(R-r)}{B-b}\end{aligned} \]

考虑右式的组合意义：一条路径的权值为从 \((0,0)\) 走到 \(B,R\) ，途径满足 \(y=Ax+P\) 的点数。右式即为所有路径的权值和。

引理 1 ：定义 \(f(W,A,P)\) 表示从 \((0,0)\) 到 \((W,AW+P)\) 且不超过 \(y=Ax+P\) 的路径数，则 \(f(W,A,P)=\binom{(A+1)W+P}{W}-A\binom{(A+1)W+P}{W-1}\) 。

证明：

考虑一条从 \((0,0)\) 到 \((W,AW+P)\) 的路径，枚举第一次穿过 \(y=Ax+P\) 的位置：

\[\binom{(A+1)W+P}{W}=f(W,A,P)+\sum_{i=0}^{W-1}f(i,A,P)\binom{A(W-i)+W-i-1}{W-i} \]

考虑一条从 \((0,0)\) 到 \((W-1,AW+P+1)\) 的路径，枚举第一次穿过 \(y=Ax+P\) 的位置：

\[\begin{aligned} \binom{(A+1)W+P}{W-1}&=\sum_{i=0}^{W-1}f(i,A,P)\binom{A(W-i)+W-i-1}{W-i-1}\\ &=\frac{1}{A}\sum_{i=0}^{W-1}f(i,A,P)\binom{A(W-i)+W-i-1}{W-i} \end{aligned} \]

我们惊讶的发现 \(f(W,A,P)=\binom{(A+1)W+P}{W}-A\binom{(A+1)W+P}{W-1}\) 。

在这道题中，把右式要求的问题记为 \(g(B,R,A,P)\) ，注意到 \(AB+P\le AB+R-AB\le R\) ，因此 \(R\) 高于这条线。

引理 2 ：\(g(B,R,A,P)\) 与 \(P\) 的取值无关，且 \(g(B,R,A,P)=\sum\limits_{i=0}^{B}\binom{B+R+1}{i}A^{B-i}\) 。

枚举路径上的点，可以得到 \(g(B,R,A,P)=\sum\limits_{i=0}^{B}\binom{(A+1)i+P}{i}\binom{R+B-(A+1)i-P}{B-i}\) 。

于是：

\[\begin{aligned}&g(B,R,A,P)-Ag(B-1,R+1,A,P)\\&=\sum_{i=0}^{B}\binom{(A+1)i+P}{i}\left(\binom{R+B-(A+1)i-P}{B-i}-A\binom{R+B-(A+1)i-P}{B-i-1}\right)\\&=\sum_{i=0}^{B}\binom{(A+1)i+P}{i}f(B-i,A,R-AB-P)\end{aligned} \]

考虑这个式子的组合意义，就是从 \((0,0)\) 走到 \((i,Ai+P)\) ，再沿 \(y=Ax+P\) 及以上的点走到 \((B,R)\) 。

考虑双射，在该路径走到 \((i,Ai+P)\) 时额外往上走一步，即走到 \((i,Ai+P+1)\) 的位置。那么这条路径的含义就变成了枚举最后一次碰到 \(y=Ax+P\) 的位置，并且最终到达 \((B,R+1)\) ，那么方案数显然就是 \(\binom{B+R+1}{B}\) 。

因此，\(g(B,R,A,P)-Ag(B-1,R+1,A,P)=\binom{B+R+1}{B}\) ，它与 \(P\) 的取值无关。

通过递推可以得到 \(g(B,R,A,P)=\sum\limits_{i=0}^{B}\binom{B+R+1}{i}A^{B-i}\) 。

回到原式，那么答案即为：

\[\begin{aligned}&\sum_{A=1}^{R/B}(R-AB+1)g(B,R,A,*)\\&=\sum_{A=1}^{R/B}(R-AB+1)\sum_{i=0}^{B}\binom{B+R+1}{i}A^{B-i}\\&=\sum_{i=0}^{B}\binom{B+R+1}{i}\left((R+1)\sum_{A=1}^{R/B}A^{B-i}-B\sum_{A=1}^{R/B}A^{B-i+1}\right)\end{aligned} \]

对于 \(k\in [1,m]\) ，求 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1}i^{k}\) 可以用伯努利数 \(\mathcal O(m\log m)\) 快速计算。

时间复杂度 \(\mathcal O(m\log m)\) 。