前言
补一波高数吧
参考张宇高等数学18讲
中值定理们
拉格朗日中值定理
设 f(x) 满足
f
(
x
)
=
{
[
a
,
b
]
上
连
续
(
a
,
b
)
内
可
导
f(x)=\left\{ \begin{aligned} [a, ~b] & 上连续 \\ (a, ~b) & 内可导 \end{aligned} \right.
f(x)={[a, b](a, b)上连续内可导
则存在
ξ
∈
(
a
,
b
)
\xi \in (a, b)
ξ∈(a,b), 使得
f
(
b
)
−
f
(
a
)
=
f
′
(
ξ
)
(
b
−
a
)
f(b) - f(a) = f'(\xi) (b - a)
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
或者写成
f
′
(
ξ
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
f′(ξ)=b−af(b)−f(a)
其实他想表示的意思就是，在 (a, b) 区间内，有个点的倒数和两个端点连线的导数一样。
柯西中值定理
设 f(x), g(x)满足
f
(
x
)
=
{
[
a
,
b
]
上
连
续
(
a
,
b
)
内
可
导
g
(
x
)
≠
0
f(x)=\left\{ \begin{aligned} [a, ~b] & 上连续 \\ (a, ~b) & 内可导 \\ g(x) & \ne 0 \end{aligned} \right.
f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧[a, b](a, b)g(x)上连续内可导=0
则存在
ξ
∈
(
a
,
b
)
\xi \in (a, b)
ξ∈(a,b), 使得
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
=
f
′
(
ξ
)
g
′
(
ξ
)
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)
积分中值定理
设f(x)在[a, b] 上连续则存在
ξ
∈
[
a
,
b
]
\xi \in [a, b]
ξ∈[a,b], 使得
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
f
(
ξ
)
(
b
−
a
)
\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b- a)
∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)
这个的意思其实是，在[a, b]间，f(x)与x=a, x=b, y=0围成的面积，数值上与在[a, b]间取一个点，做平行于x轴的直线，与x=a, x=b, y=0围城的矩形的面积相等。
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