科学思维与科学方法论--Matlab大作业 1.三次多项式逼近sinx问题；2、卫星运动轨迹；3、RLC振荡电路simulink

2023-12-10 21:05:03

题目

1、三次多项式逼近sinx问题

1）题目分析：

用一个三次多项式在区间**[0,2π]内逼近函数sinx（在给定区间内，均匀选择20个采样点），求出三次多项式表达式，并画出三次多项式与sinx的比较曲线”，知主要内容如下：
①sin(x) 在[0，2π]均匀选取20个采样点；
②三次多项式逼近，也即多项式拟合**问题；
③画出曲线；
在本课程中，我们已经学过了polyfit函数多项式拟合的方法其中函数原型为： p=polyfit(x,y,n)
x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。在求出p之后。可利用poly2sym§生成多项式函数，也可利用polyval(p,x)函数进行多项式求值。
对于两条曲线图形绘制而言，只需使用plot函数第三或第四种表达形式即可：
plot(X,Y) plot(X,Y,LineSpec) plot(X1,Y1,...,Xn,Yn) plot(X1,Y1,LineSpec1,...,Xn,Yn,LineSpecn)
在此格式中，每对x,y必须符合plot(x,y)中的要求，不同对之间没有影响，命令将对每一对x,y绘制曲线。plot是绘制一维曲线的基本函数，但在使用此函数之前，须先定义曲线上每一点的x以及y坐标。同时可以利用LineSpec - 线型、标记和颜色进行区分。

2）代码实现：

通过以上分析，可写出代码如下：

syms x y;
y = sin(x);
a = 0 : 2pi/20 : 2pi; % 在[0:2pi]均匀取20个点
b = sin(a); % 对应sinx值
p = polyfit(a,b,3) % 对这20个点进行三次多项式进行线性拟合
y = poly2sym§ % 生成多项式函数
x1 = linspace(0,2pi); % [0:2*pi]
y1 = sin(x1);
y2 = polyval(p,x1); % 拟合曲线
plot(x1,y1,‘b’,x1,y2,‘r’) % 画图
title(‘sinx及其三次多项式拟合曲线’)
ylabel(‘y’)
xlabel(‘x’)

运行结果如下：

p =

 0.0886   -0.8347    1.7861   -0.1192
y =

(1595403964975287*x^3)/18014398509481984- (3759082031905793*x^2)/4503599627370496+ (8043829737606779*x)/4503599627370496- 8586688527312135/72057594037927936

其中蓝色的为sin(x)，红色的为三次多项式拟合曲线，看出有少许偏移，拟合效果还不错；

2、卫星运动轨迹求解问题

1）题目分析

易知本题为微分方程求解问题，且初值等条件已给出，我们只需求出数值解并画出轨迹图。考虑使用ode45函数求解非刚性微分方程，函数如下：
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
其中，tspan = [t0 tf]）求微分方程组 y′=f(t,y) 从 t0 到 tf 的积分，初始条件为 y0。解数组 y 中的每一行都与列向量 t 中返回的值相对应。使用由 options（使用 odeset 函数创建的参数）定义的积分设置。例如，使用 AbsTol 和 RelTol 选项指定绝对误差容限和相对误差容限，或者使用 Mass 选项提供质量矩阵。

2）代码实现

首先编写m文件，代码如下：
function dx = homework2(t , x)
% x1 : x
% x2 : dx
% x3 : y
% x4 : dy
u1 = 1 / 82.45;
u2 = 1 - u1;
r1 = sqrt((x(1) + u1)^2 + x(3)^2);
r2 = sqrt((x(1) - u2)^2 + x(3)^2);
dx = [x(2)
2x(4) + x(1) - u2(x(1) + u1)/r1^3 - u1*(x(1) - u2)/r2^3
x(4)
-2x(2) + x(3) - u2x(3)/r1^3 - u1*x(3)/r2^3]
end
如注释所示，x1为x，x2为dx，x3为y，x4为dy；

命令行代码为：

x0=[1.2;0;0;-1.0493575]; % 初始条件
% opts = odeset(‘RelTol’,1e-6,‘AbsTol’,1e-6);

[t , x]=ode45(@homework2,[0,24],x0); % 求解
% [t , x]=ode45(@homework2,[0,24],x0,opts);

plot(x(:,1),x(:,3))
title(‘阿波罗卫星运动轨迹’)
xlabel(‘x’)
ylabel(‘y’)
save(‘homework2.mat’)

首先进行不进行options赋值，运行结果如左图下，赋值如右图：

3、RLC振荡电路simulink仿真

1）题目分析

如图所示，电路模型及其参数已经给出，我们只需在simulink中搭建模型即可。
本次仿真模型用到的有电容（Capacitor），电阻（Resistor），电感（Inductor）、开关（Circuit Breaker）、直流电流源（DC Current Source）、示波器（Scope）、Solver Configuration、Current Sensor、Pulse Generator、Simulink-PS Converter、PS-Simulink
Converter、To Workspace等。

2）模型搭建

最终模型如图所示，

Condition	Block Behavior	Resistance Parameter Used
vT < Threshold	The breaker is closed. Port 1 connects to port 2.	Closed Resistance
vT ≥ Threshold	When the current in port 1 goes through zero, the phase disconnects from port 2. The breaker is open.	Open Conductance