文章目录

• 1. 拉格朗日算子
• 1.1 基本流程
• 1.2 理解
• 第一层理解：
• 第二层理解：
• 2. KKT条件
• 2.1 一个限制条件的情况
• 2.2 多个限制条件的情况
• 3. 对偶问题
• 3.1 原始问题
• 3.1.1 一个限制条件的情况下
• 3.2.2 多个限制条件的情况下
• 3.2 转化者
• 3.3 大小安排一波？？？
• 4. 小结
• 5. 参考文献

1. 拉格朗日算子

1.1 基本流程

假设$\boldsymbol{x}=[x_1,x_2,...,x_d]$x=[x1​,x2​,...,xd​]，是一个$d$d维的向量，$f(x)$f(x)和$g(x)$g(x)是定义在实数集上连续可微的函数，现在需要找一个$x^*$x∗使得$f(x)$f(x)具有最小值，且$g(x) \leq 0$g(x)≤0。即有：
$\begin{aligned} \min _x f(x) \\ s.t. \ g(x) \leq 0 \tag{1.1} \end{aligned}$xmin​f(x)s.t. g(x)≤0​(1.1)
那么，通过拉格朗日乘子法，可以构造出下面的式子：
$\begin{aligned} L(\boldsymbol{x}, w) = f(\boldsymbol{x}) + wg(\boldsymbol{x}) \tag{1.2} \end{aligned}$L(x,w)=f(x)+wg(x)​(1.2)

令$L(\boldsymbol{x},w)$L(x,w)的对$\boldsymbol{x}$x的导数为0，求解出$x, w$x,w的值，那么，$\boldsymbol{x}$x就是函数$f(\boldsymbol{x})$f(x)在附加条件$g(\boldsymbol{x})$g(x)下可能的极值点。

1.2 理解

第一层理解：

在学高数的时候，对拉格朗日的理解仅限于：构造了一个函数$L(x,y,\lambda)$L(x,y,λ)，对该函数$L(x,y,\lambda)$L(x,y,λ)求极导，令导数为0，可以算出极大值极小值。

第二层理解：

在进行第二层理解时，需要明白几个概念：

• 数学里面，梯度指的是函数变化最快的方向。
• 梯度跟函数约束曲线是垂直的，既然垂直于约束曲面，就一定垂直于等高线。

具体可以参考这篇文章拉格朗日乘子法。该文比较直观的介绍了拉格朗日的基本定理，并且从切线、梯度的角度分析了拉格朗日算子。

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2. KKT条件

2.1 一个限制条件的情况

看完这个例子之后，在公式(1.2)可能取到的所有点中，的的确确找到了一个$\boldsymbol{x^*}$x∗，使得$f(\boldsymbol{x})$f(x)最小且满足$g(\boldsymbol{x}) \leq 0$g(x)≤0，在这样的情况下，必然有
$\begin{aligned} \bigtriangledown f(\boldsymbol{x^*}) + w \bigtriangledown g(\boldsymbol{x^*}) = 0 \tag{2.1} \end{aligned}$▽f(x∗)+w▽g(x∗)=0​(2.1)
而公式(2.1)在某些条件下刚好是公式(1.2)：$L(x, w) = f(\boldsymbol{x}) + wg(\boldsymbol{x})$L(x,w)=f(x)+wg(x)对$\boldsymbol{x}$x的偏导数等于$0$0的情况。
$\begin{aligned} \frac{\partial{L(\boldsymbol{x}, w)}}{\partial{\boldsymbol{x}}} = \bigtriangledown f(\boldsymbol{x}) + w \bigtriangledown g(\boldsymbol{x}) \end{aligned}$∂x∂L(x,w)​=▽f(x)+w▽g(x)​
那么，某些条件是什么呢？

1. $g(\boldsymbol{x}) \leq 0$g(x)≤0：这个没什么好说的，限制条件。

2. $w \geq 0$w≥0：要满足这个条件，考虑$g(\boldsymbol{x})&lt;0$g(x)<0和$g(\boldsymbol{x})=0$g(x)=0两种情况：
   (1). 当$g(\boldsymbol{x^*})=0$g(x∗)=0时：说明这个点在 $g(\boldsymbol{x})=0$g(x)=0构成的边界上，此时必然有$\bigtriangledown f(\boldsymbol{x^*})$▽f(x∗)和$\bigtriangledown g(\boldsymbol{x^*})$▽g(x∗)平行，但是无法保证他们俩方向和大小相同，因此标量$w&gt;0$w>0，使得等式(2.1)成立。
   

   (2). 当$g(\boldsymbol{x^*})&lt;0$g(x∗)<0时：说明这个点在$g(\boldsymbol{x})=0$g(x)=0构成边界的内部，此时限制条件$g(\boldsymbol{x}) \leq 0$g(x)≤0就打酱油了，没卵用，可以直接通过条件$\bigtriangledown f(\boldsymbol{x})=0$▽f(x)=0获得最优点，这个时候$w=0$w=0。
   

3. $wg(\boldsymbol{x})=0$wg(x)=0：要加上这个条件的原因是，为了满足条件2中的两种情况。
   $\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} g(\boldsymbol{x}) \leq 0 \\ w \geq 0 \\ wg(\boldsymbol{x})=0 \end{matrix}\right. \tag{2.2} \end{aligned}$⎩⎨⎧​g(x)≤0w≥0wg(x)=0​​(2.2)
   所以啊，公式(2.2)就被称为Karush-Kuhn-Tucker, (KKT)条件。

2.2 多个限制条件的情况

一个限制条件说清楚了，那么多当有多个约束条件时，考虑$l$l个等式约束和$k$k个不等式约束。
$\begin{aligned} \min _x f(\boldsymbol{x}) &amp; \\ s.t. \ c_i(\boldsymbol{x}) \leq 0 \ &amp; (i=1,2,...,k)\\ \ h_j(\boldsymbol{x}) = 0 \ &amp; (j=1,2,...,l) \tag{2.3} \end{aligned}$xmin​f(x)s.t. ci​(x)≤0  hj​(x)=0 ​(i=1,2,...,k)(j=1,2,...,l)​(2.3)
这个时候，引入拉格朗日算子$\boldsymbol{\alpha}=[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_l]$α=[α1​,α2​,...,αl​]和$\boldsymbol{\beta}=[\beta_1,\beta_2,...,\beta_k]$β=[β1​,β2​,...,βk​]，拉格朗日函数为
$\begin{aligned} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = f(\boldsymbol{x}) + \sum_{i=1}^{k} \alpha_i c_i(\boldsymbol{x}) + \sum_{j=1}^{l} \beta_j h_j(\boldsymbol{x}) \tag{2.4} \end{aligned}$L(x,α,β)=f(x)+i=1∑k​αi​ci​(x)+j=1∑l​βj​hj​(x)​(2.4)
则他们的KKT条件是：
$\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} c_i(\boldsymbol{x}) \leq 0 \ &amp; (i=1,2,...,k)\\ \alpha_i \geq 0 \ &amp; (i=1,2,...,k)\\ \alpha_i c_i(\boldsymbol{x})=0\\ h_j(\boldsymbol{x})=0 \end{matrix}\right. \tag{2.5} \end{aligned}$⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​ci​(x)≤0 αi​≥0 αi​ci​(x)=0hj​(x)=0​(i=1,2,...,k)(i=1,2,...,k)​(2.5)

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3. 对偶问题

KKT条件中提到，在公式(1.2)可能取到的所有点中，的的确确找到了一个$\boldsymbol{x^*}$x∗，使得$f(\boldsymbol{x})$f(x)最小且满足$g(\boldsymbol{x}) \leq 0$g(x)≤0。

但是，如果找不到呢。。。

3.1 原始问题

3.1.1 一个限制条件的情况下

找不到$\boldsymbol{x^*}$x∗，公式(2.1)就不能成立了，
$\begin{aligned} \bigtriangledown f(\boldsymbol{x^*}) + w \bigtriangledown g(\boldsymbol{x^*}) = 0 \tag{2.1} \end{aligned}$▽f(x∗)+w▽g(x∗)=0​(2.1)
但是，我要怎么告诉公式(2.1)不能成立啊！！！

找不到$\boldsymbol{x^*}$x∗，说明存在一个$\boldsymbol{x^{fake}}$xfake违背了$g(\boldsymbol{x}) \leq 0$g(x)≤0的条件，有$g(\boldsymbol{x^{fake}}) &gt; 0$g(xfake)>0，既然这样的话，在
$\begin{aligned} L(\boldsymbol{x}, w) = f(\boldsymbol{x}) + wg(\boldsymbol{x}) \end{aligned}$L(x,w)=f(x)+wg(x)​
中，我们令$w \rightarrow {+\infty}$w→+∞。这样的话，

• 若$\boldsymbol{x}$x不违反$g(\boldsymbol{x}) \leq 0$g(x)≤0约束，则$\max_w L(\boldsymbol{x}, w) =f(\boldsymbol{x})$maxw​L(x,w)=f(x)
• 若$\boldsymbol{x}$x违反$g(\boldsymbol{x}) \leq 0$g(x)≤0约束，则$\max_w L(\boldsymbol{x}, w) = {+\infty}$maxw​L(x,w)=+∞

所以就变成了
$\begin{aligned} \min _x \max_w L(\boldsymbol{x}, w)\tag{3.1} \end{aligned}$xmin​wmax​L(x,w)​(3.1)

3.2.2 多个限制条件的情况下

$\begin{aligned} \min _x \max_{\alpha_i, \beta_j; \alpha_i \geq0} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})\tag{3.2} \end{aligned}$xmin​αi​,βj​;αi​≥0max​L(x,α,β)​(3.2)

3.2 转化者

换个心情，换个思路。。。（透。。。）
这个问题称为广义拉格朗日函数的极大极小问题。
$\begin{aligned} \max_{\alpha_i, \beta_j;\alpha_i \geq0} \min _x L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})\tag{3.3} \end{aligned}$αi​,βj​;αi​≥0max​xmin​L(x,α,β)​(3.3)
也就是求
$\begin{aligned} \max_{\alpha_i, \beta_j;}\min _x L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})\\ s.t. \ \alpha_i \geq0 \tag{3.4} \end{aligned}$αi​,βj​;max​xmin​L(x,α,β)s.t. αi​≥0​(3.4)

3.3 大小安排一波？？？

假设公式(3.2) 原始人 的最优解为$p^*$p∗，公式(3.4) 转化者 的最优解为$d^*$d∗。
因为
$\begin{aligned} \min _x L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) \leq L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) \leq \max_{\alpha_i, \beta_j; \alpha_i \geq0} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) \tag{3.5} \end{aligned}$xmin​L(x,α,β)≤L(x,α,β)≤αi​,βj​;αi​≥0max​L(x,α,β)​(3.5)
因为原始人和转化者都有最优解，所以有
$\begin{aligned} d^*=\max_{\alpha_i, \beta_j;} \min _x L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) \leq \min_x \max_{\alpha_i, \beta_j} L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=p^* \tag{3.6} \end{aligned}$d∗=αi​,βj​;max​xmin​L(x,α,β)≤xmin​αi​,βj​max​L(x,α,β)=p∗​(3.6)
所以在KKT条件中，还要加上这几条，最后是：
$\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} \bigtriangledown_{\boldsymbol{x}}L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=0\\ \bigtriangledown_{\boldsymbol{\alpha}}L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=0\\ \bigtriangledown_{\boldsymbol{\beta}}L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=0\\ c_i(\boldsymbol{x}) \leq 0 \ &amp; (i=1,2,...,k)\\ \alpha_i \geq 0 \ &amp; (i=1,2,...,k)\\ \alpha_i c_i(\boldsymbol{x})=0\\ h_j(\boldsymbol{x})=0 \end{matrix}\right. \tag{3.7} \end{aligned}$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​▽x​L(x,α,β)=0▽α​L(x,α,β)=0▽β​L(x,α,β)=0ci​(x)≤0 αi​≥0 αi​ci​(x)=0hj​(x)=0​(i=1,2,...,k)(i=1,2,...,k)​​(3.7)

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4. 小结

所以，要求一个连续可微函数的最小值，并且还有一堆限制条件，可以这么做：

1. 引入拉格朗日乘子，构造拉格朗日函数；
2. 计算拉格朗日函数对未知参数的偏导数，并令导数为0，求解参数。
3. 将参数代入拉格朗日函数中，并转化成对偶问题后求解。（转换的时候注意其KKT条件）
   

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5. 参考文献

《西瓜书》
《统计学习方法》
《拉格朗日乘子法》