A.Bear and Friendship Condition(完全图判定)
•题意
给你一个包含 n 个点,m 条边的无向图,判断是否存在三点 x,y,z,满足:
x与y , y与z 有边,但是 x与z 无边;
如果存在,输出 "NO",反之,输出 "YES";
•题解
整个图可划分成若干个联通子图,判断这若干个连通子图是否为完全图即可;
如果存在某个联通子图为非完全图,那么,肯定会找但满足上述条件的 x,y,z,输出 "NO";
反之,输出 "YES";
•Code1
求解图是否为完全图,我在模拟赛的时候,用出度判断的;
对于包含 x 个节点的完全图,共有 $\frac{x(x-1)}{2}$ 条边,每条边都表示 2度,所以共有 $x\cdot (x-1)$度;
那么,我可以用 DFS 在 O(x) 的时间复杂度内求出每个点的出度(或入度),这 x 个点的出度和应该等于 $x\cdot (x-1)$;
如果等于,则表明这个图为完全图,反之,为非完全图;
•Code2
另一种求解完全图的方法,特别简洁,by mxl(偷偷看她代码 tql);
不过,需要用 $vector$ 存图;
假设 a,b,c,d 构成一个完全图,那么,$vector$ 中存储的信息如下:
$\begin{aligned} &vector_a:b,c,d \\ &vector_b:a,c,d \\ &vector_c:a,b,d \\ &vector_d:a,b,c \end{aligned}$;
此时,你可发现不了什么,但是,如果 $vector_i$ 中额外加入其自身 i 呢?
$\begin{aligned} &vector_a:a,b,c,d \\ &vector_b:a,b,c,d \\ &vector_c:a,b,c,d \\ &vector_d:a,b,c,d \end{aligned}$;
这是,你会发现,对于完全图中的所有点,其指向的其他节点的信息完全相同;
所以,判断某图是否为完全图时,只需要判断在同一个图中的所有节点,$vector$ 中是否保存相同的信息即可;
这样是不是每个节点都需将 $vector$ 中的信息遍历一遍,那这样岂不太耗时了 ;
其实,只需判断处于同一个图中的 $a,b,c,d$ 点 $vector$ 中:
(1)size() 是否相同
(2)存在 $vector$ 中的最小的节点是否相同
即可;