卷积

现有两个定义在 N 上的函数 \(f(n),g(n)\)，定义 \(f\) 和 \(g\) 的卷积（convolution）为 \(f \otimes g\)
\[ (f \otimes g)(n) = \sum_{i=0}^n f(i)g(n-i) \]

示意图: from http://blog.miskcoo.com/2015/04/polynomial-multiplication-and-fast-fourier-transform#i-17

考虑两多项式 \(A, B\) 的乘积 \(C\), \(c(x) = \sum_{i=0}^{x} a(i) \cdot b(x - i)\)
系数记为卷积形式

于是计算卷积 \((f \otimes g)(n)\) 就可以把 \(f, g\) 的值直接作为系数写成两个多项式, 然后 FFT 计算多项式乘积, 得到的系数的前 \(n\) 项即为所求

BZOJ3527[ZJOI2014]力

题意:
给出 \(n\) 个数 \(q_i\) ，给出 \(F_j\) 的定义如下：
\[ F_j = \sum_{i < j}\frac{q_i q_j}{(i - j) ^ 2} - \sum_{i > j}\frac{q_i q_j}{(i - j) ^ 2} \]
令 \(E_j = F_j / q_j\) , 求 \(E_j\)

Sol:

因为知道是卷积的例题了, 所以想着把这个式子往卷积的方向靠

\[ \begin{aligned} E_j = \sum_{i < j}\frac{q_i}{(i - j) ^ 2} - \sum_{i > j}\frac{q_i}{(i - j) ^ 2} \end{aligned} \]

考虑分母当做系数, 再考虑下标和为 \(j\) , 写成这样

\[ \begin{aligned} E_j = \sum_{i < j}\frac{1}{(j - i) ^ 2}q_i - \sum_{i > j}\frac{1}{(j - i) ^ 2}q_i \end{aligned} \]

一开始想把两个一起做, 发现写不出两个函数, 于是考虑分开做
显然 \(\sum_{i < j}\frac{1}{(j - i) ^ 2}q_i\) 就是 \(f(n) = q_n\) 和 \(g(n) = \frac{1}{n^2}\) 的卷积
然后后面一项同理, 把 \(f(n)\) 翻转一下即可

然后跑 FFT

double ans[MAXN], q[MAXN];

/*
20191212
0859~0922~0939
BZOJ3527 FFT
 */

int main()
{
    scanf("%d", &lena);
    for (int i = 0; i < lena; ++ i) 
    {
    scanf("%lf", &a[i].x); q[lena - 1 - i] = a[i].x;
    b[i].x = (i == 0 ? 0.0 : 1.0 / i / i);
    }
    while ((1 << dgt) < lena * 2) ++ dgt;
    n = 1 << dgt;
    init(n, dgt);
    FFT(b, n ,1);
    FFT(a, n, 1);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) a[i] = a[i] * b[i];
    FFT(a, n, -1);
    for (int i = 0; i < lena; ++ i) ans[i] += a[i].x / n;
    for (int i = 0; i < n; ++ i) a[i].x = q[i], a[i].y = 0;
    FFT(a, n, 1);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) a[i] = a[i] * b[i];
    FFT(a, n, -1);
    for (int i = 0; i < lena; ++ i) ans[i] -= a[lena - 1 - i].x / n;
    for (int i = 0; i < lena; ++ i) printf("%.3f\n", ans[i]);
    return 0;
}
/*
3
1 2 3
 */