最近发了两片patch match的，其实自己也是有一些一知半解的，找了一篇不知道谁的大论文看了看，又回顾了一下，下面贴我的笔记。

The PatchMatch Algorithm

patchmatch一开始被应用于结构化的图片编辑。

• 是一个随机性的算法。
• 致力于找到近似的最近领匹配。

patchmatch的假设：

• 邻近的像素有一样的模型参数\(p\in R^n\)
• 有一个cost function可以计算给定一个\(p\)的代价

PatchMatch三大步：

• 随机初始化
• 传播
• 随机搜索

PatchMatch for Motion Estimation

因为有些像素可能会被遮挡，我们需要舍弃他们的估计。有一种方法叫forward-backward consistency check.

这个移动也不能是无限大的，在这个论文里如果大于400像素我们就舍弃。

Motion Models

有各种translation motion model.

• The Translational Motion Model

\[ \begin{aligned} x_{2} &=x_{1}+b_{1} \\ y_{2} &=y_{1}+b_{2} \end{aligned} \]

• The Affine Motion Model

\[ \begin{aligned} x_{2} &=a_{1} x_{1}+a_{2} y_{1}+b_{1} \\ y_{2} &=a_{3} x_{1}+a_{4} y_{1}+b_{2} \end{aligned} \]

• The Projective Motion Model

也就是个Homography.
\[ \omega \left( \begin{array}{c}{x_{2}} \\ {y_{2}} \\ {1}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{lll}{h_{1}} & {h_{2}} & {h_{3}} \\ {h_{4}} & {h_{5}} & {h_{6}} \\ {h_{7}} & {h_{8}} & {h_{9}}\end{array}\right) \left( \begin{array}{l}{x_{1}} \\ {y_{1}} \\ {1}\end{array}\right) \]
也可以简化一下:
\[ \begin{aligned} x_{2} &=\frac{h_{1} x_{1}+h_{2} y_{1}+h_{3}}{h_{7} x_{1}+h_{8} y_{1}+h_{9}} \\ y_{2} &=\frac{h_{4} x_{1}+h_{5} y_{1}+h_{6}}{h_{7} x_{1}+h_{8} y_{1}+h_{9}} \end{aligned} \]

• The Quadratic Motion Model

\[ \begin{array}{l}{x_{2}-x_{1}=a_{1}+a_{2} x_{1}+a_{3} y_{1}+a_{7} x_{1}^{2}+a_{8} x_{1} y_{1}} \\ {y_{2}-y_{1}=a_{4}+a_{5} x_{1}+a_{6} y_{1}+a_{7} x_{1} y_{1}+a_{8} y_{1}^{2}}\end{array} \]

PatchMatch for Stereo Reconstruction

有几个模型，比如:eipipolar constraint model, projective planar model, the slanted plane model.

Pipeline

有４个步骤:

• camera calibration

相机标定是拿内外参，也就是内参和相机位姿都要知道。

• image rectification

简化下一步骤，因为只需要在横坐标上搜索。

• disparity estimation (aka stereo matching)

• depth reconstruction

有了相机内外参和dispairty,深度很容易估计。

\[Z=\frac{f \cdot b}{x_{1}-x_{2}}, Y=\frac{y_{1} \cdot Z}{f}, X=\frac{x_{1} \cdot Z}{f}\]

这里\(b\)是baseline, disparity　\(d=x_1-x_2\),所以\((X, Y, Z)\)都和disparity成倒数。

Models for Stereo Matching

• The Epipolar Constraint Model

\[ \tilde{\mathbf{x}}_{2}^{\top} \mathbf{F} \tilde{\mathbf{x}}_{1}=0 \]

当只有x轴上的移动，也就是在rectified image的时候，\(F\)会退化成如下:
\[ \mathbf{F}=\left[ \begin{array}{ccc}{0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {-1} \\ {0} & {1} & {0}\end{array}\right] \]
这样的话，\(y_2=y_1\)。

• The Projective Planar Model

\[ \begin{aligned} x_{2} &=\frac{h_{1} x_{1}+h_{2} y_{1}+h_{3}}{h_{4} x_{1}+h_{5} y_{1}+h_{6}} \\ y_{2} &=y_{1} \end{aligned} \]

• The Slanted Plane Model

这个模型假设\((x, y, d)\)和一个法向量\((n_x, n_y, n_z)\)在一个3D平面上，这里\(d\)表示视差。一个穿过点\(\left(x_{1}, y_{1}, d_{1}\right)\)的平面方程如下:
\[ n_{x}\left(x-x_{1}\right)+n_{y}\left(y-y_{1}\right)+n_{z}\left(d-d_{1}\right)=0 \]
这个公式其实挺容易理解的，从这个点发射的向量如果和法向量乘积是0，那就在这个平面上。

那么根据上式，视差的表达式也可以很容易推导出来:
\[ d=\frac{n_{x} x_{1}+n_{y} y_{1}+n_{z} d_{1}}{n_{z}}-\frac{n_{x}}{n_{z}} x-\frac{n_{y}}{n_{z}} y \]

代价函数 Cost Function

公式:
\[ \begin{aligned} \mathcal{C}\left(\mathbf{p} ; x_{1}, y_{1}\right)=\sum_{\delta_{x}=-m}^{m} \sum_{\delta_{y}=-m}^{m}\left(\mathcal{W}\left(f\left(x_{1}, y_{1}\right), f\left(x_{1}+\delta_{x}, y_{1}+\delta_{y}\right)\right)\right.\\ \cdot & \rho\left(f\left(x_{1}+\delta_{x}, y_{1}+\delta_{y}\right), g\left(x_{1}+\delta_{x}-\mathcal{D}\left(\mathbf{p} ; x_{1}+\delta_{x}, y_{1}+\delta_{y}\right), y_{1}+\delta_{y}\right)\right) ) \end{aligned} \]
和公式:
\[ \begin{aligned} \mathcal{C}\left(\mathbf{p} ; x_{2}, y_{2}\right)=\sum_{\delta_{x}=-m}^{m} \sum_{\delta_{y}=-m}^{m}\left(\mathcal{W}\left(g\left(x_{2}, y_{2}\right), g\left(x_{2}+\delta_{x}, y_{2}+\delta_{y}\right)\right)\right.\\ & \cdot \rho\left(g\left(x_{2}+\delta_{x}, y_{2}+\delta_{y}\right), f\left(x_{2}+\delta_{x}+\mathcal{D}\left(\mathbf{p} ; x_{2}+\delta_{x}, y_{2}+\delta_{y}\right), y_{2}+\delta_{y}\right)\right) ) \end{aligned} \]
这里\(m\)是patch的大小，而\(\mathcal{W}\)是一个权重函数:
\[ \mathcal{W}\left(f(x, y), f\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\right)=\exp \left(-\frac{\left\|f(x, y)-f\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\right\|_{1}}{\gamma}\right) \]
而\(\rho(.)\)函数计算像素\(f(x,y)\)和它的投影点\(g(x-d,y)\)的不相似度:
\[ \begin{aligned} \rho(f(x, y), g(x-d, y))=&(1-\beta) \cdot \min \left(\|f(x, y)-g(x-d, y)\|_{1}, \tau_{c o l}\right) \\ &+\beta \cdot \min \left(\|\nabla f(x, y)-\nabla g(x-d, y)\|_{1}, \tau_{g r a d}\right) \end{aligned} \]
这里\(\beta\)就是衡量两个不同项的权重参数，\(\nabla\)是计算梯度的负号。第一项是在RGB空间里的差异，这里第二项计算的是灰度梯度的绝对值差异。

View Propagation

除了spatial propagation（假设邻近的像素有相似的模型参数），有一个人还加了另一个假设，认为说对应点的邻近也有相似的模型参数。

Post-Processing

有三个步骤: 外点剔除，invalid pixels handling和weighted median filter。

• Outlier Removal: 用forward-backward consistency check来移除被遮挡的点。
• Invalid Pixels Handling: 在移除了遮挡的点以后，我们在这个像素的左右各找一个最近的点，然后根据邻近点的参数计算视差，然后选一个小的视差来作为它的模型参数。
• Weighted Median Filter: 是最后作为refinement的一步，这个只会对在forward-backward consistency check失败的点来操作。