在计算高等数学中的重积分之时，常常会遇到需要变换积分变量的情况。一般，这是由于坐标轴的替换。 当坐标轴进行变化，积分变量不会还是\(dxdy\),或者是三维的\(dxdydz\)。那么，新的积分变量是如何得出的呢？
不难发现，这本质上是一个重积分的换元过程。一重积分的换元法我们应该还记得是:
\[x\Rightarrow t \space|\space (x=X(t))\\ \int f(x)dx\Rightarrow \int f[X(t)] \frac{dx}{dt}\cdot dt \]那么，对于二重，或者三重积分的换元，又应该如何去处理呢？如果按照形式类比下来，举例如下：
\[\begin{cases} x\\ y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} u\\ v \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(u,v)\\ y=Y(u,v) \end{cases}\\ ~\\ \int f(x,y)dxdy\Rightarrow \int f[X(u,v),Y(u,v)] \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv \]怎么样，觉得两者相像吗？可是，\(\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\)这个东西，也不知道怎么算啊？不如在这里再类比一下,比如，\(\frac{dx}{dt}\)是如何算出来的:
\[\frac{dx}{dt}= \begin{vmatrix} x_t \end{vmatrix} \]由此可类比得:
\[\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} x_u&x_v\\ y_u&y_v \end{vmatrix} \]好像得到了一个矩阵。实际上，这是雅可比矩阵。描述一个从\(\mathbb{R}_n\rightarrow\mathbb{R}_m\)的坐标空间的变换，可写作\(J\)。而，这个矩阵的行列式\(|J|\)则描述在这个过程中体积的放缩系数。 也就是说，一个在\(\mathbb{R}_n\)空间中的几何体，经由\(J\)映射到\(\mathbb{R}_m\)后，它的体积将会是原来的\(|J|\)倍。其可称为雅可比行列式。
既然如此,而\(dxdy\)是一个\(\mathbb{R}_n\)中的体积微元，那么它在\(\mathbb{R}_m\)中的体积也就是\(|J|dudv\)。至此，便已经解释清楚积分变量的替换是如何进行的了。
我为最常见的\(\mathbb{R}_m\)做了一个用于表示分类的思维导图，如下：
graph LR a[积分]-->d[二重积分] a-->e[三重积分] d-->f[极坐标系] e-->g[柱面坐标系] e-->h[球面坐标系] style a fill:#01a2a6 style d fill:#bdf271 style e fill:#bdf271 style f fill:#ffffa6 style g fill:#ffffa6 style h fill:#ffffa6
下面，逐一为上图中所涉及到的\(\mathbb{R}_m\)求解\(|J|\)，得出对应的新的积分变量。
\[\begin{cases} x\\ y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} u\\ v \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(u,v)\\ y=Y(u,v) \end{cases} \] \[\Rightarrow dxdy=|J|\cdot dudv\\ (|J|=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} x_u&x_v\\ y_u&y_v \end{vmatrix} =x_u\times y_v-x_v\times y_u ) \]
对于二重积分的极坐标，有:
\[\begin{cases} x\\ y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \rho\\ \theta \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(\rho,\theta)=\rho\cdot cos\theta\\ y=Y(\rho,\theta)=\rho\cdot sin\theta \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_{\rho}=cos\theta\\ x_{\theta}=-\rho\cdot sin\theta\\ y_{\rho}=sin\theta\\ y_{\theta}=\rho\cdot cos\theta \end{cases} \] \[\Rightarrow dxdy=|J|\cdot d\rho d\theta \\ (|J|=\frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho ,\theta )}= \begin{vmatrix} x_{\rho}&x_{\theta}\\ y_{\rho}&y_{\theta} \end{vmatrix} =x_{\rho}\times y_{\theta}-x_{\theta}\times y_{\rho}=\rho )\\ \Rightarrow dxdy=\rho\cdot d\rho d\theta \]对于三重积分的柱面坐标，有:
\[\begin{cases} x\\ y\\ z \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \rho\\ \theta\\ z \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(\rho,\theta,z)=\rho\cdot cos\theta\\ y=Y(\rho,\theta,z)=\rho\cdot sin\theta\\ z=Z(\rho,\theta ,z)=z \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_{\rho}=cos\theta\\ x_{\theta}=-\rho\cdot sin\theta\\ x_z=0\\ y_{\rho}=sin\theta\\ y_{\theta}=\rho\cdot cos\theta\\ y_z=0\\ z_{\rho}=0\\ z_{\theta}=0\\ z_z=1 \end{cases} \] \[\Rightarrow dxdydz=|J|\cdot d\rho d\theta dz\\ (|J|=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho ,\theta ,z)}= \begin{vmatrix} x_{\rho}&x_{\theta}&x_z\\ y_{\rho}&y_{\theta}&y_z\\ z_{\rho}&z_{\theta}&z_z \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{\rho}&x_{\theta}&0\\ y_{\rho}&y_{\theta}&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{\rho}&x_{\theta}\\ y_{\rho}&y_{\theta} \end{vmatrix} =x_{\rho}\times y_{\theta}-x_{\theta}\times y_{\rho}=\rho )\\ \Rightarrow dxdydz=\rho\cdot d\rho d\theta dz \]对于三重积分的球面坐标，有:
\[\begin{cases} x\\ y\\ z \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} r\\ \theta\\ \varphi \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(r,\theta,\varphi)=r\cdot sin\theta cos\varphi\\ y=Y(r,\theta,\varphi)=r\cdot sin\theta sin\varphi\\ z=Z(r,\theta ,\varphi)=r\cdot cos\theta \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_{r}=sin\theta cos\varphi\\ x_{\theta}=r\cdot cos\theta cos\varphi\\ x_{\varphi}=-r\cdot sin\theta sin\varphi\\ y_{r}=sin\theta sin\varphi\\ y_{\theta}=r\cdot cos\theta sin\varphi\\ y_{\varphi}=r\cdot sin\theta cos\varphi\\ z_{r}= cos\theta\\ z_{\theta}=-r\cdot sin\theta\\ z_{\varphi}=0 \end{cases} \] \[\Rightarrow dxdydz=|J|\cdot dr d\theta d\varphi\\ (|J|=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r ,\theta ,\varphi)}= \begin{vmatrix} x_{r}&x_{\theta}&x_{\varphi}\\ y_{r}&y_{\theta}&y_{\varphi}\\ z_{r}&z_{\theta}&z_{\varphi} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{r}&x_{\theta}&x_{\varphi}\\ y_{r}&y_{\theta}&y_{\varphi}\\ z_{r}&z_{\theta}&0 \end{vmatrix}=z_r\times \begin{vmatrix} x_{r}&x_{\theta}\\ y_{r}&y_{\theta} \end{vmatrix}-z_{\theta}\times \begin{vmatrix} x_{r}&x_{\varphi}\\ y_{r}&y_{\varphi} \end{vmatrix}\\ \Rightarrow z_r\times(x_r\cdot y_{\theta}-x_{\theta}\cdot y_r)-z_{\theta}\times (x_r\cdot y_{\varphi}-x_{\varphi}\cdot y_r)=r^2sin\theta\\ dxdydz=r^2sin\theta\cdot d\rho d\theta dz \]