我们基于极大似然法来推导二元逻辑回归的损失函数，这个推导过程能够帮助我们了解损失函数怎么
得来的，以及为什么
J
(
θ
)
J(\theta)
J(θ)的最小化能够实现模型在训练集上的拟合最好。
我们的目标是：让模型对训练数据的效果好，追求损失最小
二元逻辑回归的标签服从伯努利分布(即0-1分布)，因此我们可以将一个特征向量为 x x x，参数为 θ \theta θ的模型中的一个样本i的预测情况表现为如下形式：
-
样本i在由特征向量 x i x_i xi和参数 θ \theta θ组成的预测函数中，样本标签被预测为1的概率为：
P 1 = P ( y i ^ = 1 ∣ x i , θ ) = y θ ( x i ) P_1=P(\hat{y_i}=1|x_i,\theta)=y_{\theta}(x_i) P1=P(yi^=1∣xi,θ)=yθ(xi)
-
样本i在由特征向量 和参数 组成的预测函数中，样本标签被预测为0的概率为：
P 0 = P ( y i ^ = 0 ∣ x i , θ ) = 1 − y θ ( x i ) P_0=P(\hat{y_i}=0|x_i,\theta)=1-y_{\theta}(x_i) P0=P(yi^=0∣xi,θ)=1−yθ(xi)
当 P 1 P_1 P1的值为1的时候，代表样本i的标签被预测为1，当 P 0 P_0 P0的值为1的时候，代表样本i的标签被预测为0。
假设样本i的真实标签 y i y_i yi为1，此时如果 P 1 P_1 P1为1， P 0 P_0 P0为0的时候，就代表样本i的标签被预测为1，与真实值一致。此时对于单样本i来说，模型的预测就是完全准确的，拟合程度很优秀，没有任何信息损失。
相反，如果 P 1 P_1 P1为0， P 0 P_0 P0为1的时候，就代表样本i的标签被预测为0，与真实情况完全相反。对于单样本i来说，模型的预测就是完全错误的，拟合程度很差，所有的信息都损失了。
当 y i y_i yi为0时，也是同样的道理，所以，当 y i y_i yi为1的时候，我们希望 P 1 P_1 P1非常接近1， 当 y i y_i yi为0的时候，我们希望 P 0 P_0 P0非常接近1，这样，模型的效果就很好，信息损失就很少。
将两种取值的概率整合，我们可以定义如下等式：
P
(
y
i
^
∣
x
i
,
θ
)
=
P
1
y
i
∗
P
0
1
−
y
i
P(\hat{y_i}|x_i,\theta)=P_1^{y_i}*P_0^{1-y_i}
P(yi^∣xi,θ)=P1yi∗P01−yi
这个等式代表同时代表了 P 0 P_0 P0和 P 1 P_1 P1，当样本i的真实标签 y i y_i yi为1的时候， 1 − y i 1-y_i 1−yi 就等于0， P 0 P_0 P0 的0次方就是1，所以 P ( y i ^ ∣ x i , θ ) P(\hat{y_i}|x_i,\theta) P(yi^∣xi,θ)等于 P 1 P_1 P1，这时，如果 P 1 P_1 P1为1，模型的效果就很好，损失就很小。同理，当 y i y_i yi为0的时候， P ( y i ^ ∣ x i , θ ) P(\hat{y_i}|x_i,\theta) P(yi^∣xi,θ)等于 P 0 P_0 P0，此时如果 P 0 P_0 P0非常接近1，模型的效果就很好，损失就很小。所以，为了达成让模型拟合好，损失小的目的，我们每时每刻都希望 P ( y i ^ ∣ x i , θ ) P(\hat{y_i}|x_i,\theta) P(yi^∣xi,θ) 的值等于1。 而 P ( y i ^ ∣ x i , θ ) P(\hat{y_i}|x_i,\theta) P(yi^∣xi,θ) 的本质是样本i由特征向量 x i x_i xi和参数 θ \theta θ组成的预测函数中，预测出所有可能的 y ^ \hat{y} y^的概率，因此1是它的最大值。
也就是说，每时每刻，我们都在追求 P ( y i ^ ∣ x i , θ ) P(\hat{y_i}|x_i,\theta) P(yi^∣xi,θ) 的最大值。这就将模型拟合中的“最小化损失”问题，转换成了对函数求解极值的问题。
P
(
y
i
^
∣
x
i
,
θ
)
P(\hat{y_i}|x_i,\theta)
P(yi^∣xi,θ)是对单个样本i而言的函数，对一个训练集的m个样本来说，我们可以定义如下等式来表达所有样本在特征矩阵X和参数
θ
\theta
θ组成的预测函数中，预测出所有可能的
y
^
\hat{y}
y^的概率P为：
P
=
∏
i
=
1
m
P
(
y
i
^
∣
x
i
,
θ
)
=
∏
i
=
1
m
(
P
1
y
i
∗
P
0
1
−
y
i
)
=
∏
i
=
1
m
(
y
0
(
x
i
)
y
i
∗
(
1
−
y
0
(
x
i
)
)
1
−
y
i
)
将
开
头
的
P
1
和
P
0
带
入
\begin{aligned} P&=\prod_{i=1}^mP(\hat{y_i}|x_i,\theta) \\&=\prod_{i=1}^m(P_1^{y_i}*P_0^{1-y_i}) \\&=\prod_{i=1}^m(y_0(x_i)^{y_i}*(1-y_0(x_i))^{1-y_i}) ~~~~~~~~~~将开头的P_1和P_0带入 \end{aligned}
P=i=1∏mP(yi^∣xi,θ)=i=1∏m(P1yi∗P01−yi)=i=1∏m(y0(xi)yi∗(1−y0(xi))1−yi) 将开头的P1和P0带入
对该概率P取对数，再由
log
(
A
∗
B
)
=
log
A
+
log
B
\log(A*B)=\log A+\log B
log(A∗B)=logA+logB和
log
A
B
=
B
log
A
\log A^B=B\log A
logAB=BlogA可得：
log
P
=
log
∏
i
=
1
m
(
y
0
(
x
i
)
y
i
∗
(
1
−
y
0
(
x
i
)
)
1
−
y
i
)
=
∑
i
=
1
m
log
(
y
0
(
x
i
)
y
i
∗
(
1
−
y
0
(
x
i
)
)
1
−
y
i
)
=
∑
i
=
1
m
(
log
y
θ
(
x
i
)
y
i
+
log
(
1
−
y
θ
(
x
i
)
)
1
−
y
i
)
=
∑
i
=
1
m
(
y
i
log
y
θ
(
x
i
)
+
(
1
−
y
i
)
log
(
1
−
y
θ
(
x
i
)
)
)
\begin{aligned} \log P&=\log\prod_{i=1}^m(y_0(x_i)^{y_i}*(1-y_0(x_i))^{1-y_i}) \\&=\sum_{i=1}^m\log(y_0(x_i)^{y_i}*(1-y_0(x_i))^{1-y_i}) \\&=\sum_{i=1}^m(\log y_{\theta}(x_i)^{y_i}+\log(1-y_{\theta}(x_i))^{1-y_i}) \\&=\sum_{i=1}^m(y_i\log y_{\theta}(x_i)+(1-y_i)\log(1-y_{\theta}(x_i))) \end{aligned}
logP=logi=1∏m(y0(xi)yi∗(1−y0(xi))1−yi)=i=1∑mlog(y0(xi)yi∗(1−y0(xi))1−yi)=i=1∑m(logyθ(xi)yi+log(1−yθ(xi))1−yi)=i=1∑m(yilogyθ(xi)+(1−yi)log(1−yθ(xi)))
这就是我们的交叉熵函数。为了数学上的便利以及更好地定义”损失”的含义，我们希望将极大值问题转换为极小值问题，因此我们对
log
P
\log{P}
logP取负，并且让参数
θ
\theta
θ作为函数的自变量，就得到了我们的损失函数
J
(
θ
)
J(\theta)
J(θ)：
J
(
θ
)
=
−
∑
i
=
1
m
(
y
i
log
y
θ
(
x
i
)
+
(
1
−
y
i
)
log
(
1
−
y
θ
(
x
i
)
)
)
J(\theta)=-\sum_{i=1}^m(y_i\log y_{\theta}(x_i)+(1-y_i)\log(1-y_{\theta}(x_i)))
J(θ)=−i=1∑m(yilogyθ(xi)+(1−yi)log(1−yθ(xi)))
这就是一个，基于逻辑回归的返回值 y θ ( x i ) y_{\theta}(x_i) yθ(xi)的概率性质得出的损失函数。在这个函数上，我们只要追求最小值，就能让模型在训练数据上的拟合效果最好，损失最低。这个推导过程，其实就是“极大似然法”的推导过程。
似然与概率
-
似然与概率是一组非常相似的概念，它们都代表着某件事发生的可能性，但它们在统计学和机器学习中有着微妙的不同。以样本i为例，表达式为：
P ( y i ^ ∣ x i , θ ) P(\hat{y_i}|x_i,\theta) P(yi^∣xi,θ)
对这个表达式而言，如果参数 θ \theta θ是已知的，特征向量 x i x_i xi是未知的，我们便称P是在探索不同特征取值下获取所有可能的 y ^ \hat{y} y^的可能性,这种可能性就被称为概率，研究的是自变量和因变量之间的关系。如果特征向量 x i x_i xi 是已知的，参数 θ \theta θ 是未知的，我们便称P是在探索不同参数下获取所有可能的 y ^ \hat{y} y^ 的可能性，这种可能性就被称为似然，研究的是参数取值与因变量之间的关系。
在逻辑回归的建模过程中，我们的特征矩阵是已知的，参数是未知的，因此我们讨论的所有“概率”其实严格来说都应该是“似然”。我们追求 P ( y i ^ ∣ x i , θ ) P(\hat{y_i}|x_i,\theta) P(yi^∣xi,θ) 的最大值（换算成损失函数之后取负了，所以是最小值），就是在追求“极大似然”，所以逻辑回归的损失函数的推导方法叫做”极大似然法“。也因此，以下式子又被称为”极大似然函数“：
P ( y i ^ ∣ x i , θ ) = y 0 ( x i ) y i ∗ ( 1 − y 0 ( x i ) ) 1 − y i P(\hat{y_i}|x_i,\theta)=y_0(x_i)^{y_i}*(1-y_0(x_i))^{1-y_i} P(yi^∣xi,θ)=y0(xi)yi∗(1−y0(xi))1−yi