DW李宏毅机器学习笔记--Task04(下)-反向传播

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前言

这是我在Datawhale组队学习李宏毅机器学习的记录,既作为我学习过程中的一些记录,也供同好们一起交流研究,之后还会继续更新相关内容的博客。


背景

梯度下降

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  • 这是机器学习中的第三步
  • θ \theta θ 是由weight 和 bias组成的向量
  • 先选择一个初始的 θ 0 \theta^0 θ0,计算 θ 0 \theta^0 θ0 的损失函数(Loss Function),求对各个参数的偏微分
  • 计算完这个向量(vector)偏微分,然后就可以去更新 θ \theta θ
  • 注意,在训练中可能会出现百万级别的参数(millions of parameters)
  • 这节课讲的反向传播(Backpropagation)将是一个比较有效率的算法,让你计算梯度(Gradient) 的向量(Vector)时,可以有效率的计算出来

链式法则

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  • 连锁影响(可以看出x会影响y,y会影响z)
  • BP(反向传播)主要用到了chain rule
  • 这就是简单的高数知识,多元函数的微分

反向传播

  1. 损失函数(Loss function)是定义在单个训练样本上的,也就是就算一个样本的误差,比如我们想要分类,就是预测的类别和实际类别的区别,是一个样本的,用L表示。
  2. 代价函数(Cost function)是定义在整个训练集上面的,也就是所有样本的误差的总和的平均,也就是损失函数的总和的平均,有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。
  3. 总体损失函数(Total loss function)是定义在整个训练集上面的,也就是所有样本的误差的总和。也就是平时我们反向传播需要最小化的值。

注:2和3之间的差距就是是否求总和的平均。

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对于 L ( θ ) L(\theta) L(θ)就是所有 l n l^n ln的损失之和,所以如果要算每个 L ( θ ) L(\theta) L(θ)的偏微分,我们只要算每个 l n l^n ln的偏微分,再把所有 l n l^n ln偏微分的结果加起来就是 L ( θ ) L(\theta) L(θ)的偏微分,所以等下我们只计算每个 l n ​ l^n​ ln​的偏微分。 我们先在整个神经网络(Neural network)中抽取出一小部分的神经(Neuron)去看(也就是红色标注的地方):
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取出一个Neuron进行分析

从这一小部分中去看,把计算梯度分成两个部分
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  1. 计算 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} ∂w∂z​(Forward pass的部分)
  2. 计算 ∂ l ∂ z ​ \frac{\partial l}{\partial z}​ ∂z∂l​​ (Backward pass的部分)

Forward Pass

那么,首先计算 ∂ z ∂ w ​ \frac{\partial z}{\partial w}​ ∂w∂z​​(Forward pass的部分):
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根据求微分原理,forward pass的运算规律就是:

∂ z ∂ w 1 = x 1 \frac{\partial z}{\partial w_1} = x_1 ∂w1​∂z​=x1​

∂ z ∂ w 2 = x 2 \frac{\partial z}{\partial w_2} = x_2 ∂w2​∂z​=x2​
这里计算得到的 x 1 x_1 x1​和 x 2 x_2 x2​恰好就是输入的 x 1 x_1 x1​和 x 2 x_2 x2​ 直接使用数字,更直观地看到运算规律:

Backward Pass

这部分就很困难复杂,因为这是最后一层: 那怎么计算 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} ∂z∂l​ (Backward pass的部分)

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计算所有激活函数的偏微分,激活函数有很多,这里使用Sigmoid函数为例

这里使用链式法则(Chain Rule)的case1,计算过程如下:

∂ l ∂ z = ∂ a ∂ z ∂ l ∂ a ⇒ σ ′ ( z ) ​ \frac{\partial l}{\partial z} = \frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial l}{\partial a} \Rightarrow {\sigma}'(z)​ ∂z∂l​=∂z∂a​∂a∂l​⇒σ′(z)​ ∂ l ∂ a = ∂ z ′ ∂ a ∂ l ∂ z ′ + ∂ z ′ ′ ∂ a ∂ l ∂ z ′ ′ ​ \frac{\partial l}{\partial a} = \frac{\partial z'}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z'} +\frac{\partial z''}{\partial a}\frac{\partial l}{\partial z''}​ ∂a∂l​=∂a∂z′​∂z′∂l​+∂a∂z′′​∂z′′∂l​​

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最终的式子结果:
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从前往后看,我们的确无法直接求出 ∂ l ∂ z ′ ′ 和 ∂ l ∂ z ′ \frac{\partial l}{\partial z''}和\frac{\partial l}{\partial z'} ∂z′′∂l​和∂z′∂l​,但是你可以想象从尾到头来看这个事情,现在有另外一个神经元,把forward的过程逆向过来,而其中的 σ ′ ( z ) {\sigma}'(z) σ′(z)是常数,因为它在向前传播的时候就已经确定了

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case 1: Output layer

假设 ∂ l ∂ z ′ \frac{\partial l}{\partial z'} ∂z′∂l​和 ∂ l ∂ z ′ ′ ​ \frac{\partial l}{\partial z''}​ ∂z′′∂l​​是最后一层的隐藏层 也就是就是y1与y2是输出值,那么直接计算就能得出结果
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但是如果不是最后一层,计算 ∂ l ∂ z ′ \frac{\partial l}{\partial z'} ∂z′∂l​和 ∂ l ∂ z ′ ′ ​ \frac{\partial l}{\partial z''}​ ∂z′′∂l​​的话就需要继续往后一直通过链式法则算下去

case 2 : Not Output Layer

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对于这个问题,我们要继续计算后面绿色的 ∂ l ∂ z a \frac{\partial l}{\partial z_a} ∂za​∂l​和 ∂ l ∂ z b \frac{\partial l}{\partial z_b} ∂zb​∂l​,然后通过继续乘 w 5 w_5 w5​和 w 6 w_6 w6​得到 ∂ l ∂ z ′ \frac{\partial l}{\partial z'} ∂z′∂l​,但是要是 ∂ l ∂ z a \frac{\partial l}{\partial z_a} ∂za​∂l​和 ∂ l ∂ z b \frac{\partial l}{\partial z_b} ∂zb​∂l​都不知道,那么我们就继续往后面层计算,一直到碰到输出值,得到输出值之后再反向往输入那个方向走。
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对上图,我们可以从最后一个 ∂ l ∂ z 5 \frac{\partial l}{\partial z_5} ∂z5​∂l​和 ∂ l ∂ z 6 \frac{\partial l}{\partial z_6} ∂z6​∂l​看,因为 ∂ l ∂ z a \frac{\partial l}{\partial z_a} ∂za​∂l​和 ∂ l ∂ z b \frac{\partial l}{\partial z_b} ∂zb​∂l​比较容易通过output求出来,然后继续往前求 ∂ l ∂ z 3 \frac{\partial l}{\partial z_3} ∂z3​∂l​和 ∂ l ∂ z 4 \frac{\partial l}{\partial z_4} ∂z4​∂l​,再继续求 ∂ l ∂ z 1 \frac{\partial l}{\partial z_1} ∂z1​∂l​和 ∂ l ∂ z 2 \frac{\partial l}{\partial z_2} ∂z2​∂l​ 最后我们就得到下图的结果
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综上所述,在求Backward Pass,我们要做的就是从output layer开始,一层层,从结尾计算到交汇处。

实际上进行backward pass时候和向前传播的计算量差不多,当在backward pass时会储存计算的中间结果,便于后期调试,但有时中间结果会特别大,就需要先用向前传播计算一部分,再用反向传播两头凑(向前传播不会储存中间值)。


总结

我们的目标是要求计算 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} ∂w∂z​(Forward pass的部分)和计算 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} ∂z∂l​ ( Backward pass的部分 ),然后把 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} ∂w∂z​和 ∂ l ∂ z \frac{\partial l}{\partial z} ∂z∂l​相乘,我们就可以得到 ∂ l ∂ w \frac{\partial l}{\partial w} ∂w∂l​,所有我们就可以得到神经网络中所有的参数,然后用梯度下降就可以不断更新,得到损失最小的函数
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