数据结构和算法17 之拓扑排序

2021-12-16 07:16:50

  这一节我们学习一个新的排序算法，准确的来说，应该叫“有向图的拓扑排序”。所谓有向图，就是A->B，但是B不能到A。与无向图的区别是，它的边在邻接矩阵里只有一项（友情提示：如果对图这种数据结构部不太了解的话，可以先看一下这篇博文：数据结构和算法之 无向图。因为拓扑排序是基于图这种数据结构的）。

有向图的邻接矩阵如下表所示：

 

A

B

C

A

0

1

1

B

0

0

1

C

0

0

0

        所以针对前面讨论的无向图，邻接矩阵的上下三角是对称的，有一半信息是冗余的。而有向图的邻接矩阵中所有行列之都包含必要的信息，它的上下三角不是对称的。所以对于有向图，增加边的方法只需要一条语句：

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  1. //有向图中，邻接矩阵中只有一项  
  2. public void addEdge(int start, int end) {  
  3.     adjMat[start][end] = 1;  
  4. }  
        如果使用邻接表示意图，那么A->B表示A在它的链表中有B，但是B的链表中不包含A，这里就不多说了，本文主要通过邻接矩阵实现。

        因为图是有向的，假设A->B->C->D这种，那这就隐藏了一种顺序，即要想到D，必须先过C，必须先过B，必须先过A。它们无形中形成了一种顺序，这种顺序在实际中还是用的挺广泛的，比如，要做web开发，必须先学Java基础等等，这些都遵循一个顺序，所以拓扑排序的思想也是这样，利用有向图特定的顺序进行排序。但是拓扑排序的结果不是唯一的，比如A->B的同时，C->B，也就是说A和C都能到B，所以用算法生成一个拓扑排序时，使用的方法和代码的细节决定了会产生那种拓扑排序。

        拓扑排序的思想虽然不寻常，但是却很简单，有两个必要的步骤：

        1. 找到一个没有后继的顶点；

        2.从图中删除这个顶点，在列表中插入顶点的标记

        然后重复1和2，直到所有顶点都从图中删除，这时候列表显示的顶点顺序就是拓扑排序的结果了。

        但是我们需要考虑一种特殊的有向图：环。即A->B->C->D->A。这种必然会导致找不着“没有后继的节点”，这样便无法使用拓扑排序了。

        下面我们分析下拓扑排序的代码：

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  1. public void poto() {  
  2.     int orig_nVerts = nVerts; //记录有多少个顶点  
  3.     while(nVerts > 0) {  
  4.         //返回没有后继顶点的顶点  
  5.         int currentVertex = noSuccessors(); //如果不存在这样的顶点，返回-1  
  6.         if(currentVertex == -1) {  
  7.             System.out.println("ERROR: Graph has cycles!");  
  8.             return;  
  9.         }  
  10.           
  11.         //sortedArray中存储排过序的顶点（从尾开始存）  
  12.         sortedArray[nVerts-1] = vertexArray[currentVertex].label;  
  13.         deleteVertex(currentVertex);//删除该顶点，便于下一次循环，寻找下一个没有后继顶点的顶点  
  14.     }  
  15.     System.out.println("Topologically sorted order:");  
  16.     for(int i = 0; i < orig_nVerts; i++) {  
  17.         System.out.print(sortedArray[i]);  
  18.     }  
  19.     System.out.println("");  
  20. }  
        主要的工作在while循环中进行，这个循环直到定点数为0时才退出：
        1. 调用noSuccessors()找到任意一个没有后继的顶点；

        2. 如果找到一个这样的顶点，把顶点放到sortedArray数组中，并且从图中删除这个顶点；

        3. 如果不存在这样的顶点，则图必然存在环。

        最后sortedArray数组中存储的就是排过序的顶点了。下面我们分析下noSuccessor()方法和deleteVertes()方法：

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  1. //return vertex with no successors  
  2. private int noSuccessors() {  
  3.     boolean isEdge;  
  4.     for(int row = 0; row < nVerts; row++) {  
  5.         isEdge = false;  
  6.         for(int col = 0; col < nVerts; col++) {  
  7.             if(adjMat[row][col] > 0) { //只要adjMat数组中存储了1，表示row->col  
  8.                 isEdge = true;  
  9.                 break;  
  10.             }  
  11.         }  
  12.         if(!isEdge) {//只要有边，返回最后一个顶点  
  13.             return row;  
  14.         }  
  15.     }  
  16.     return -1;  
  17. }  
  18.   
  19. private void deleteVertex(int delVertex) {  
  20.     if(delVertex != nVerts -1) {  
  21.         for(int i = delVertex; i < nVerts-1; i++) { //delete from vertexArray  
  22.             vertexArray[i] = vertexArray[i+1];  
  23.         }  
  24.         //删除adjMat中相应的边  
  25.         for(int row = delVertex; row < nVerts-1; row++) {//delete row from adjMat  
  26.             moveRowUp(row, nVerts);  
  27.         }  
  28.           
  29.         for(int col = delVertex; col < nVerts-1; col++) {//delete column from adjMat  
  30.             moveColLeft(col, nVerts-1);  
  31.         }  
  32.     }  
  33.     nVerts--;  
  34. }  
        从上面代码可以看出，删除一个顶点很简单，从vertexArray中删除，后面的顶点向前移动填补空位。同样的，顶点的行列从邻接矩阵中删除，下面的行和右面的列移动来填补空位。删除adjMat数组中的边比较简单，下面看看moveRowUp和moveColLeft的方法：

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  1. private void moveRowUp(int row, int length) {  
  2.     for(int col = 0; col < length; col++) {  
  3.         adjMat[row][col] = adjMat[row+1][col];  
  4.     }  
  5. }  
  6.   
  7. private void moveColLeft(int col, int length) {  
  8.     for(int row = 0; row < length; row++) {  
  9.         adjMat[row][col] = adjMat[row][col+1];  
  10.     }  
  11. }  
        这样便介绍完了拓扑排序的所有过程了。下面附上完整的代码：

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  1. package graph;  
  2. /** 
  3.  * 有向图的拓扑排序： 
  4.  * 拓扑排序是可以用图模拟的另一种操作，它可以用于表示一种情况，即某些项目或事件必须按特定的顺序排列或发生。 
  5.  * 有向图和无向图的区别是：有向图的边在邻接矩阵中只有一项。 
  6.  * 拓扑排序算法的思想虽然不寻常但是很简单，有两个步骤是必须的： 
  7.  * 1. 找到一个没有后继的顶点 
  8.  * 2. 从图中删除这个顶点，在列表的前面插入顶点的标记 
  9.  * 重复这两个步骤，直到所有顶点都从图中删除，这时，列表显示的顶点顺序就是拓扑排序的结果。 
  10.  * 删除顶点似乎是一个极端的步骤，但是它是算法的核心，如果第一个顶点不处理，算法就不能计算出要处理的第二个顶点。 
  11.  * 如果需要，可以再其他地方存储图的数据(顶点列表或者邻接矩阵)，然后在排序完成后恢复它们。 
  12.  * @author eson_15 
  13.  * @date 2016-4-20 12:16:11 
  14.  *  
  15.  */  
  16. public class TopoSorted {  
  17.     private final int MAX_VERTS = 20;  
  18.     private Vertex vertexArray[]; //存储顶点的数组  
  19.     private int adjMat[][]; //存储是否有边界的矩阵数组, 0表示没有边界，1表示有边界  
  20.     private int nVerts; //顶点个数  
  21.     private char sortedArray[]; //存储排过序的数据的数组  
  22.       
  23.     public TopoSorted() {  
  24.         vertexArray = new Vertex[MAX_VERTS];  
  25.         adjMat = new int[MAX_VERTS][MAX_VERTS];  
  26.         nVerts = 0;  
  27.         for(int i = 0; i < MAX_VERTS; i++) {  
  28.             for(int j = 0; j < MAX_VERTS; j++) {  
  29.                 adjMat[i][j] = 0;  
  30.             }  
  31.         }  
  32.         sortedArray = new char[MAX_VERTS];  
  33.     }  
  34.       
  35.     public void addVertex(char lab) {  
  36.         vertexArray[nVerts++] = new Vertex(lab);  
  37.     }  
  38.       
  39.     //有向图中，邻接矩阵中只有一项  
  40.     public void addEdge(int start, int end) {  
  41.         adjMat[start][end] = 1;  
  42.     }  
  43.       
  44.     public void displayVertex(int v) {  
  45.         System.out.print(vertexArray[v].label);  
  46.     }  
  47.       
  48.     /* 
  49.      * 拓扑排序 
  50.      */  
  51.     public void poto() {  
  52.         int orig_nVerts = nVerts; //remember how many verts  
  53.         while(nVerts > 0) {  
  54.             //get a vertex with no successors or -1  
  55.             int currentVertex = noSuccessors();  
  56.             if(currentVertex == -1) {  
  57.                 System.out.println("ERROR: Graph has cycles!");  
  58.                 return;  
  59.             }  
  60.               
  61.             //insert vertex label in sortedArray (start at end)  
  62.             sortedArray[nVerts-1] = vertexArray[currentVertex].label;  
  63.             deleteVertex(currentVertex);  
  64.         }  
  65.         System.out.println("Topologically sorted order:");  
  66.         for(int i = 0; i < orig_nVerts; i++) {  
  67.             System.out.print(sortedArray[i]);  
  68.         }  
  69.         System.out.println("");  
  70.     }  
  71.   
  72.     //return vertex with no successors  
  73.     private int noSuccessors() {  
  74.         boolean isEdge;  
  75.         for(int row = 0; row < nVerts; row++) {  
  76.             isEdge = false;  
  77.             for(int col = 0; col < nVerts; col++) {  
  78.                 if(adjMat[row][col] > 0) {  
  79.                     isEdge = true;  
  80.                     break;  
  81.                 }  
  82.             }  
  83.             if(!isEdge) {  
  84.                 return row;  
  85.             }  
  86.         }  
  87.         return -1;  
  88.     }  
  89.   
  90.     private void deleteVertex(int delVertex) {  
  91.         if(delVertex != nVerts -1) {  
  92.             for(int i = delVertex; i < nVerts-1; i++) { //delete from vertexArray  
  93.                 vertexArray[i] = vertexArray[i+1];  
  94.             }  
  95.               
  96.             for(int row = delVertex; row < nVerts-1; row++) {//delete row from adjMat  
  97.                 moveRowUp(row, nVerts);  
  98.             }  
  99.               
  100.             for(int col = delVertex; col < nVerts-1; col++) {//delete column from adjMat  
  101.                 moveColLeft(col, nVerts-1);  
  102.             }  
  103.         }  
  104.         nVerts--;  
  105.     }  
  106.   
  107.     private void moveRowUp(int row, int length) {  
  108.         for(int col = 0; col < length; col++) {  
  109.             adjMat[row][col] = adjMat[row+1][col];  
  110.         }  
  111.     }  
  112.   
  113.     private void moveColLeft(int col, int length) {  
  114.         for(int row = 0; row < length; row++) {  
  115.             adjMat[row][col] = adjMat[row][col+1];  
  116.         }  
  117.     }  
  118. }  

        拓扑排序就介绍到这吧，如有错误之处，欢迎留言指正~


转载：http://blog.csdn.net/eson_15/article/details/51194219

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