求等比数列前n项和(约数之和)

原题链接

法一:分治法

思路

这里是实现一个sum函数,sum(p,k)表示

\[p^0+p^1+...p^{k-1} \]

当k为偶数时,sum(p,k)可以拆解成

\[p^0+p^1+...+p^{k/2-1}+p^{k/2}+...+p^{k-1} \]

\[p^0+p^1+...+p^{k/2-1}+p^{k/2}*(p^0+p^1+...+p^{k/2-1}) \]

也就是

\[sum(p,k/2)+p^{k/2}*sum(p,k/2) \]

进一步化简

\[(p^{k/2}+1)*sum(p,k/2) \]

当k为奇数时,为了方便调用我们写的偶数项情况,可以单独把最后一项拿出来,剩下的化为求偶数项的情况来考虑,再加上最后一项,就是奇数项的情况了,即

\[sum(p,k-1)+p^{k-1} \]

代码

#include<iostream>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int mod = 9901;
int A, B;

//保存质因子以及出现的次数
unordered_map<int, int> primes;

//试除法质因子分解
void divide(int n) {
    for(int i = 2; i <= n / i; i++) {
        if(n % i == 0) {
            while(n % i == 0) {
                primes[i]++;
                n /= i;
            }
        }
    }
    if(n > 1) {
        primes[n]++;
    }
}

//快速幂
int qmid(int a, int b) {
    int res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = (LL)res * a % mod;
        a = (LL)a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

//p0 + .. + pk-1
int sum(int p, int k) {
    if(k == 1) return 1;  //边界
    if(k % 2 == 0) {  
        return (LL)(qmid(p, k / 2) + 1) * sum(p, k / 2) % mod;
    }
    return (qmid(p, k - 1) + sum(p, k - 1)) % mod;
}

int main(){
    cin >> A >> B;

    //对A分解质因子
    divide(A);

    int res = 1;
    for(auto it : primes) {
        //p是质因子,k是质因子的次数
        int p = it.first, k = it.second * B;
        // res要乘上每一项, 注意这里是k + 1
        res = (LL)res * sum(p, k + 1) % mod;
    }
    if(!A) res = 0;

    cout << res << endl;

    return 0;
}

法二:公式法

思路

可以直接套用等比数列求和公式

\[\frac{a_1(p^n-1)}{p-1} \]

  • 分母p-1是mod的倍数,则不存在逆元,这时直接乘(1+p+...p^k)%mod,即k+1

    这时因为如果p-1是mod的倍数,则p%mod余数为1

  • 分母p-1不是mod的倍数,则直接求快速幂加求分母的逆元(qmi(1-p,mod-2))即可

代码

#include<iostream>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int mod = 9901;
int A, B;

//保存质因子以及出现的次数
unordered_map<int, int> primes;

//试除法质因子分解
void divide(int n) {
    for(int i = 2; i <= n / i; i++) {
        if(n % i == 0) {
            while(n % i == 0) {
                primes[i]++;
                n /= i;
            }
        }
    }
    if(n > 1) {
        primes[n]++;
    }
}

//快速幂
int qmid(int a, int b) {
    int res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = (LL)res * a % mod;
        a = (LL)a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main(){
    cin >> A >> B;

    //对A分解质因子
    divide(A);

    int res = 1;
    for(auto it : primes) {
        //p是质因子,k是质因子的次数
        int p = it.first, k = it.second * B;
        // res要乘上每一项, 注意这里是k + 1
        if((p - 1) % mod == 0) {  
            //不存在逆元,由于p - 1的是mod 的倍数, 故p % mod = 1
            //所以1 + p + ... + p^k每个数%mod 都是1,共k + 1个数,总就是k + 1
            res = (LL)res * (k + 1) % mod;
        }
        else{
            res = (LL)res * (qmid(p, k + 1) - 1) % mod * qmid(p - 1, mod - 2) % mod; 
        }

    }
    if(!A) res = 0;

    cout << (res % mod + mod ) % mod  << endl;

    return 0;
}

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