设 $f(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上可微; 且 $x\to\infty$ 时, $f'(x)$ 单调递增趋于 $+\infty$, 则 $$\bex \int_a^\infty \sin f(x)\rd x,\quad \int_a^\infty \cos f(x)\rd x \eex$$ 都收敛.

证明: 由 $$\bex \int_a^\infty\sex{\cos \atop \sin }f(x)\rd x =\int_{f(a)}^\infty \sex{\cos \atop \sin} y \frac{\rd y}{f'(f^{-1}(y))}\quad \sex{f(x)=y} \eex$$ 及 Dirichlet 判别法即知题中两个无穷限积分均收敛.