前置知识：莫比乌斯函数性质一（不会请点）

进入正题：

题目大意：
\(T\)组数据，每组给出\(a\),\(b\),\(d\)
求
\[ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b [\gcd(i,j)=d] \]

解析

这题并不难
先变化一波
\[ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b [\gcd(i,j)=d] = \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b [\gcd(\frac{i}{d},\frac{j}{d})=1] \]
现在我们知道 \(i=i'*d\) , \(j=j'*d\) 。
不妨，枚举 \(i'\) 和 \(j'\) ，则 \(i'\) 最大为 \(\lfloor \frac{a}{d} \rfloor\) , \(j'\) 最大为 \(\lfloor \frac{b}{d} \rfloor\) .
上式
\[ =\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{a}{d} \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{b}{d} \rfloor} [\gcd(i,j)=1] \]
带入性质一
\[ \begin{aligned} &=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{a}{d} \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{b}{d} \rfloor} \sum_{k|\gcd(i,j)} \mu(k) \\ &=\sum_{k=1}^{min(\lfloor \frac{a}{d} \rfloor,\lfloor \frac{b}{d} \rfloor)} \mu(k) \lfloor \frac{\lfloor \frac{a}{d} \rfloor}{k} \rfloor \lfloor \frac{\lfloor \frac{b}{d} \rfloor}{k} \rfloor \\ \end{aligned} \]

这样还是过不了，还要用数论分块，才能过。
时间复杂度\(O(\sqrt{\lfloor \frac{a}{d} \rfloor} + \sqrt {\lfloor \frac{b}{d} \rfloor})\)

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int mo[60005],vis[60005],p[60005],tot=0;

void init()
{
    mo[1]=1;
    for (int i=2;i<=50005;i++)
    {
        if (!vis[i]) p[++tot]=i,mo[i]=-1;
        for (int j=1;j<=tot&&p[j]*i<=50005;j++)
        {
            vis[p[j]*i]=1;
            if (i%p[j]==0) break;
            mo[p[j]*i]=-mo[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<=50005;i++) mo[i]+=mo[i-1];
}
int main()
{
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        int a,b,d,ans=0;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
        a=a/d,b=b/d;
        for (int l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1)
        {
            r=min(a/(a/l),b/(b/l));
            ans+=(a/l)*(b/l)*(mo[r]-mo[l-1]);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}