红黑树（Red-Black Tree）
- 红黑树是一种BST，但是每个节点上增加一个存储位表示该节点的颜色（R或者B）；通过对任何一条从root到leaf的路径上节点着色方式的显示，红黑树确保所有路径的差值不会超过一倍，最终使得BST接*衡；
- 红黑树内每个节点包含五个属性：color, key, left,
right和p，p表示指向父亲节点的指针；一棵BST需要同时满足下述五个性质才能称作红黑树：
每个节点只能是红色或者黑色节点中的一种；
根节点必须是黑色；
每个叶节点（NULL）必须是黑色；
如果一个节点是红色，则它的两个子节点必须是黑色；
对于树中任何一个节点，该节点到其叶节点的所有路径上的黑色节点数相同
- 红黑树的空间复杂度为O(N)；支持三种操作：search, insert,
delete，并且所有操作的时间复杂度都为O(logN)，最好情况跟最坏情况的复杂度相同。对于search操作而言，其依赖BST的性质，所以不需
要依赖节点的着色信息；着色信息仅为了保证BST的平衡性，insert和delete操作则可能破坏BST的平衡性，所以这两种操作需要对红黑树中节点
的着色信息进行调整。
1 //左旋操作中，oldroot的右子节点成为新的root，root的左子节点成为oldroot的右子节点， 2 //oldroot成为新root的左子节点 3 template <class KeyType> 4 void Node<KeyType>::RotateLeft(Node<KeyType> * & root) { 5 Node<KeyType> * oldRoot = root; 6 root = root->mySubtree[RIGHT]; 7 oldRoot->mySubtree[RIGHT] = root->mySubtree[LEFT]; 8 root->mySubtree[LEFT] = oldRoot; 9 } 10 11 //右旋操作中，oldroot的左子节点成为新的root，root的右子节点成为oldroot的左子节点， 12 //oldroot成为新root的右子节点 13 template <class KeyType> 14 void Node<KeyType>::RotateRight(Node<KeyType> * & root) { 15 Node<KeyType> * oldRoot = root; 16 root = root->mySubtree[LEFT]; 17 oldRoot->mySubtree[LEFT] = root->mySubtree[RIGHT]; 18 root->mySubtree[RIGHT] = oldRoot; 19 } 20 21 //向T索引的红黑树中插入新节点z，使用BST的性质查找z的插入位置，并且将新节点z标 22 //注为红色； 23 RB-INSERT(T, z) 24 y ← nil[T] 25 x ← root[T] 26 while x ≠ nil[T] 27 do y ← x 28 if key[z] < key[x] 29 then x ← left[x] 30 else x ← right[x] 31 p[z] ← y 32 if y = nil[T] 33 then root[T] ← z 34 else if key[z] < key[y] 35 then left[y] ← z 36 else right[y] ← z 37 left[z] ← nil[T] 38 right[z] ← nil[T] 39 color[z] ← RED 40 RB-INSERT-FIXUP(T, z)
插入一个节点并标注为红色的操作可能破坏红黑树的性质2和性质4；当插入节点为根节点的时候破坏性质2，此时直接将其变成黑色就可以恢复；当破坏性质4的时候则需要一系列的恢复操作；
case1：原树为空，新节点为根节点；恢复策略为将其改成黑色；
case2：新节点的父节点是黑色；满足所有红黑树规则；
case3：新节点的父节点是红色，父节点的兄弟节点是红色；恢复策略为将新节点的父节点和父节点的兄弟节点改成黑色，其祖父节点改成红色，针对祖父节点重新调用该方法；
case4：新节点的父节点是红色，父节点的兄弟节点是黑色，新节点为父节点的右子；恢复策略为以新节点的父节点为支点左旋；
case5：新节点的父节点是红色，父节点的兄弟节点是黑色，新节点为父节点的左子；恢复策略为将新节点的父节点改成黑色，祖父节点改成红色，并以祖父节点为支点右旋；
1 RB-INSERT-FIXUP(T, z) 2 while color[p[z］ = RED 3 do if p[z] = left[p[p[z］] 4 then y ← right[p[p[z］] 5 if color[y] = RED 6 then color[p[z］ ← BLACK ? Case 3 7 color[y] ← BLACK ? Case 3 8 color[p[p[z］] ← RED ? Case 3 9 z ← p[p[z］ ? Case 3 10 else if z = right[p[z］ 11 then z ← p[z] ? Case 4 12 LEFT-ROTATE(T, z) ? Case 4 13 color[p[z］ ← BLACK ? Case 5 14 color[p[p[z］] ← RED ? Case 5 15 RIGHT-ROTATE(T, p[p[z］) ? Case 5 16 else (same as then clause with "right" and "left" exchanged) 17 color[root[T］ ← BLACK 18 19 // 20 RB-DELETE(T, z) 21 if left[z] = nil[T] or right[z] = nil[T] 22 then y ← z 23 else y ← TREE-SUCCESSOR(z) 24 if left[y] ≠ nil[T] 25 then x ← left[y] 26 else x ← right[y] 27 p[x] ← p[y] 28 if p[y] = nil[T] 29 then root[T] ← x 30 else if y = left[p[y］ 31 then left[p[y］ ← x 32 else right[p[y］ ← x 33 if y 3≠ z 34 then key[z] ← key[y] 35 copy y‘s satellite data into z 36 if color[y] = BLACK 37 then RB-DELETE-FIXUP(T, x) 38 return y
case1：x的兄弟w是红色
case2：x的兄弟w是黑色，并且w的两个孩子是黑色
case3：x的兄弟w是黑色，并且w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色
case4：x的兄弟w是黑色，并且w的右孩子是红色
1 RB-DELETE-FIXUP(T, x) 2 while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK 3 do if x = left[p[x］ 4 then w ← right[p[x］ 5 if color[w] = RED 6 then color[w] ← BLACK ? Case 1 7 color[p[x］ ← RED ? Case 1 8 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ? Case 1 9 w ← right[p[x］ ? Case 1 10 if color[left[w］ = BLACK and color[right[w］ = BLACK 11 then color[w] ← RED ? Case 2 12 x ← p[x] ? Case 2 13 else if color[right[w］ = BLACK 14 then color[left[w］ ← BLACK ? Case 3 15 color[w] ← RED ? Case 3 16 RIGHT-ROTATE(T, w) ? Case 3 17 w ← right[p[x］ ? Case 3 18 color[w] ← color[p[x］ ? Case 4 19 color[p[x］ ← BLACK ? Case 4 20 color[right[w］ ← BLACK ? Case 4 21 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ? Case 4 22 x ← root[T] ? Case 4 23 else (same as then clause with "right" and "left" exchanged) 24 color[x] ← BLACK