P3312 数表

题意

求出

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(\gcd(i,j))[\sigma(\gcd(i,j))⩽a] \]

其中 \(\sigma\) 表示约数和。

思路/推导

考虑没有 \(a\) 的限制的情况。

\[ans=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}[\gcd(i,j)=1]\\ =\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}\sum_{p\mid i\and p\mid j}\mu(p)\\ =\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{p=1}^{\left\lfloor\frac{\min(n,m)}{d}\right\rfloor}\mu(p)\left\lfloor\frac{n}{dp}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{dp}\right\rfloor\\ =\sum_{T=1}^{\min(n,m)}\sum_{d=1}^T\sigma(d)\mu(\frac Td)\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor \]

考虑加入 \(a\) 的限制。将询问按照 \(a\) 大小离线，然后用一个树状数组维护 \(\sum_d\sigma(d)\mu(\frac Td)\) 的前缀和即可。

具体是将线性筛出的所有数的约数和从小到大进行排序，在从小到大查询的时候进行更新。

不会筛 \(\sigma\) 的可以看我的另一篇博客

时间复杂度瓶颈在于查询，需要用到数论分块，为 \(O(q\sqrt n\log n)\)。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<utility>
using namespace std;
inline int read(){
	int w=0,x=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
	while(isdigit(c))x=x*10+(c^48),c=getchar();
	return w?-x:x;
}
namespace star
{
	const int maxn=1e5+10,maxm=2e4+10,N=1e5;
	int n,p[maxn/10],mu[maxn],tot,c[maxn],ans[maxm],g[maxn];
	pair<int,int> f[maxn];
	bool mark[maxn];
	inline void insert(int x,int k){for(;x<=N;x+=x&-x) c[x]+=k;}
	inline int query(int x){int ans=0;for(;x;x-=x&-x) ans+=c[x];return ans;}
	struct Query{
		int n,m,a,id;
		inline bool operator < (const Query& zp) const {return a<zp.a;}
		inline int solve(){
			if(n>m) swap(n,m);
			int ans=0;
			for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
				r=min(n/(n/l),m/(m/l)),ans+=((query(r)-query(l-1))*(n/l)*(m/l));
			return ans;
		}
	}q[maxm];
	inline void work(){
		mu[1]=1;
		f[1]=make_pair(1,1);
		for(int i=2;i<=N;i++){
			if(!mark[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1,g[i]=i+1,f[i]=make_pair(i+1,i);
			for(int j=1,tmp;j<=tot and (tmp=i*p[j])<=N;j++){
				mark[tmp]=true;
				if(i%p[j]==0){
					mu[tmp]=0;
					g[tmp]=g[i]*p[j]+1;
					f[tmp]=make_pair(f[i].first/g[i]*g[tmp],tmp);
					break;
				}
				mu[tmp]=-mu[i];
				g[tmp]=p[j]+1;
				f[tmp]=make_pair(f[i].first*f[p[j]].first,tmp);
			}
		}
		sort(f+1,f+1+N);
		n=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) q[i].n=read(),q[i].m=read(),q[i].a=read(),q[i].id=i;
		sort(q+1,q+1+n);
		for(int i=1,j=1;i<=n;i++){
			while(f[j].first<=q[i].a and j<=N){
				for(int k=f[j].second;k<=N;k+=f[j].second) insert(k,f[j].first*mu[k/f[j].second]);
				j++;
			}
			ans[q[i].id]=q[i].solve();
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i]&(~(1<<31)));
	}
}
signed main(){
	star::work();
	return 0;
}