主要用途

• 将两个集合合并
• 检测两个元素是否在同一个集合当中

基本原理

每个集合用一棵树来表示。树根的编号就是整个集合的编号。每个节点存储它的父节点，p[x]表示x的父节点

相关问题：

1. 如何判断树根:if(p[x] == x)
2. 如何求x的集合编号:while (p[x] != x) x=p[x]
3. 如何合并两个结合？px是x的集合编号，py是y的集合编号。p[x]=y //将x结合合并到y上

并查集的优化：路径压缩

在查询某节点的属于哪个集合时(需要访问到根节点),在访问根节点后回溯过程中将路径上相关节点的父节点修改为根节点

模板题

一共有 n 个数，编号是 1∼n，最开始每个数各自在一个集合中。
现在要进行 m 个操作，操作共有两种：

M a b，将编号为 a 和 b 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
Q a b，询问编号为 a 和 b 的两个数是否在同一个集合中；
输入格式
第一行输入整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式
对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 a 和 b 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围
1≤n,m≤105
输入样例：

4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4

输出样例：

Yes
No
Yes

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int p[N];//存储集合

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];//查找根节点+路径压缩
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;//初始化将每一个节点都看成一个集合

    while (m -- )
    {
        char op[2];
        int a, b;
        scanf("%s%d%d", op, &a, &b);// %s来读字符串可以过滤空格等
        if (*op == 'M') p[find(a)] = find(b);//合并集合
        else
        {
            if (find(a) == find(b)) puts("Yes");//判断两个元素是否在一个集合中
            else puts("No");
        }
    }

    return 0;
}

简单实战

连通块中点的数量

给定一个包含 n 个点（编号为 1∼n）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行 m 个操作，操作共有三种：

C a b，在点 a 和点 b 之间连一条边，a 和 b 可能相等；
Q1 a b，询问点 a 和点 b 是否在同一个连通块中，a 和 b 可能相等；
Q2 a，询问点 a 所在连通块中点的数量；
输入格式
第一行输入整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 C a b，Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。

输出格式
对于每个询问指令 Q1 a b，如果 a 和 b 在同一个连通块中，则输出 Yes，否则输出 No。

对于每个询问指令 Q2 a，输出一个整数表示点 a 所在连通块中点的数量

每个结果占一行。

数据范围
1≤n,m≤105
输入样例：

5 5
C 1 2
Q1 1 2
Q2 1
C 2 5
Q2 5

输出样例：

Yes
2
3

简单分析：
只需要再维护一下有关个数的操作即可，这里我们统一约定，用根节点下标来维护集合的个数

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int p[N], cnt[N];//p存储相关集合,cnt存储

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        p[i] = i;//初始化，每个节点都是一个集合
        cnt[i] = 1;//初始化每个集合只有一个节点
    }

    while (m -- )
    {
        string op;
        int a, b;
        cin >> op;

        if (op == "C")
        {
            cin >> a >> b;
            a = find(a), b = find(b);
            if (a != b)
            {
                p[a] = b;
                cnt[b] += cnt[a];//集合合并后，相关集合的数量相加
            }
        }
        else if (op == "Q1")
        {
            cin >> a >> b;
            if (find(a) == find(b)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
        else
        {
            cin >> a;
            cout << cnt[find(a)] << endl;
        }
    }

    return 0;
}