理论

求解线性方程组，例如

\[\begin{cases} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3=b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+a_{2,3}x_3=b_2\\ a_{3,1}x_1+a_{3,2}x_2+a_{3,3}x_3=b_3 \end{cases} \]

将它转化为矩阵乘法

\[\left[ \begin{matrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\ a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\ a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3} \end{matrix} \right] \times \left[ \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{matrix} \right] \]

上面的三个矩阵还是太麻烦了，我们将他变为增广矩阵

\[\left[ \begin{matrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&b_1\\ a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&b_2\\ a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&b_3 \end{matrix} \right] \]

然后我们定义初等行变换
1.交换两行
2.将同一行的元素同时乘 \(val\)
3.将第 \(i\) 行的元素加到第 \(j\) 行上面
不难发现初等行变换不会改变方程的解。然后就像我们常规解方程一样进行消元就可以了。