矩阵快速幂

前置芝士

矩阵乘法

• 当矩阵\(A\)的列数与矩阵\(B\)的行数相等时，矩阵\(A\)与矩阵\(B\)可进行相乘

• 如矩阵\(A\)为\(m\times n\)的矩阵，矩阵\(B\)为\(n \times p\)的矩阵，他们的乘积\(C\)是一个\(m \times p\)的矩阵

• \(C\)的第\(i\)行\(j\)列的元素为

  \[c_{i,j}=\sum\limits^n_{r=1}a_{i,r}b_{r,j} \]

• 举例

  • \(\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\times b&a \times d\\c \times b&c\times d\end{bmatrix}\)

  • 

    懒得打了直接引的百度百科图片

• 方阵：行数等于列数的矩阵

• 单位矩阵：左上角到右下角这条对角线上全为1、其余全为0的方阵88（相当于乘法中的1）

• 矩阵乘法有结合律、分配律，没有交换律

快速幂

见快速幂(主要用带取模的快速幂)

矩阵快速幂

• 顾名思义，其实就是矩阵乘法+快速幂

• 模板（伪）

• //还没编译，大概能跑，看个思路
  
  struct Matrix{
  	int G[105][105];
  };
  
  int m,n,p,MOD;
  
  //生成单位矩阵 
  Matrix CI(Matrix &A){
  	for(int i = 0;i<n;i++){
  		for(int j = 0;j<n;j++){
  			A[i][j] = (i == j);
  		}
  	}
  }
  
  //矩阵乘法
  Matrix MatrixMul(Matrix A,Matrix B){
  	Martix R;
  	memset(R.G,0,sizeof(R.G));
  	for(int i = 0;i<m;i++){
  		for(int j = 0;j<n;j++){
  			for(int k = 0;k<n;k++){
  				R.G[i][k] += A.G[i][j]*B.G[j][k];
  				R.G[i][k] %= MOD;
  			}
  		}
  	}
  	return R;
  }
  //矩阵快速幂
  Matrix MatrixQuickPow(Matrix A,int b){
  	Matrix I,Result;
  	CI(I);
  	while(b){
  		if(b&1) Result = MatrixMul(Result,A);
  		A = MatrixMul(A,A);
  		b /= 2;
  	}
  	return Result;
  }
  

应用

1. 超大数的递推，如P1962斐波那契数列

   因为我们知道，

   \(f(n)=f(n-1)+f(n-2)\)

   \(f(n-1)=f(n-1)\)

   即

   \(\begin{align}\begin{cases}f(n)&=1\times f(n-1)+1\times f(n-2)\\f(n-1)&=1\times f(n-1)+0\times f(n-2)\end{cases}\end{align}\)

   因此我们得到了

   \(\begin{bmatrix}f(n)\\f(n-1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}f(n-1)\\f(n-2)\end{bmatrix}\)

   因为矩阵乘法具有结合律，所以斐波那契数列的第n项为

   \(\begin{bmatrix}f(n)\\f(n-1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}^{n-2}\times \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)

   算就完了

   矩阵的katex打起来太麻烦了( ‵o′)