「吴恩达机器学习」9.神经网络学习

2023-12-06 11:14:58

当我们的特征值太多，模型太复杂时，之前学习的线性回归和逻辑回归都会遇到计算负荷太大的问题，所以我们需要学习神经网络。

Non-linear Hypotheses

本节课程主要通过示例讲解了引入神经网络的实际意义。

之前的一个例子：

在这个例子中，由于我们只有\(x_1\)和\(x_2\)两个特征值，所以即使模型很复杂，引入了多次项，也可以得到一个不错的结果。

但是当我们的特征非常多的时候，比如100个，即使我们只采用两两特征组合的形式\((x_1x_2+x_1x_3 + \cdots + x_2x_3 + x_2x_4 + \cdots x_{99}x_{100})\)，我们也会有大概\(O(n^2/2)\)，即5000个组合特征，这个计算量已经很大了。

如果我们想要解决的是计算机视觉的问题的话，那么数据量将会更加庞大。

比如下图的汽车，在计算机眼中就是一个代表着每个像素点的矩阵。

假如我们要实现计算机视觉中的汽车检测问题，即使我们只选取灰度图片（\(50 \times 50\)个像素点），那么每张图片也需要一个\(n=2500\)的向量进行表示（如果采用RGB，则需要一个\(n=7500\)的向量进行表示）。

如果我们采用简单的两两组合构成一个多项式模型，则会有约\(2500^2/2\)（接近3百万）个特征，所以采用普通的逻辑回归模型，很难有效地处理这么多特征值，所以我们需要神经网络。

Neurons and the Brain

主要讲解神经网络的相关背景知识。

神经网络：

起源：试图模仿大脑的算法；
在80年代和90年代初广泛应用，在90年代后期人气下降；
最近复兴：由于计算机计算能力的巨大提升，使得神经网络中的一些算法又重焕生机。

Model Representation I

主要讲解神经网络的表示，以及一些相关概念。

Neuron in the brain

每一个神经元都可以认为是一个处理单元/神经核（processing unit/Nucleaus），它含有许多输入/树突（input/Dendrite），并且只有一个输出/轴突（output/Axon）。

大量神经元相互连接并通过电脉冲进行交流，就形成了神经网络。

Neuron model: Logistic unit

每一个神经元就是一个个的学习模型，也叫激活单元（activation unit）。下图是以逻辑回归模型作为自身学习模型的神经元，因此也称为Sigmoid (logistic) activation function。

\(x_0=1\)项被称为偏置单元（bias unit），通常不画出来。在神经网络中，参数又称为权重（weight）。

Neural Network

以神经元为基础，模仿人脑的神经网络，设计出了计算机神经网络：

上图从左至右，第一层称为输入层（input layer），将原始数据输入给它们；第二层（中间所有层）称为隐藏层（hidden layer），负责处理数据并传递给下一层；最后一层称为输出层（output layer），负责输出数据给\(h_\theta(x)\)。

神经网络模型是许多逻辑单元按照不同的层级组织起来的网络，每一层的输出变量都是下一层的输入变量。

引入标记法帮助描述模型：

\(a_j^{(i)}\)代表第\(j\)层第\(i\)个激活单元；
\(\Theta^{(j)}\)代表从第\(j\)层映射到第\(j+1\)层时的权重的矩阵，其尺寸为：以第\(j+1\)层的激活单元数量为行数，以第\(j\)层激活单元加1（加上\(x_0\)偏置项）为列数的矩阵，E.g. \(\Theta^{(1)}\)代表从第一层映射到第二层的权重的矩阵，其尺寸为\(3 \times 4\).

对于上图模型，激活单元表达为：

输出表达为：

Model Representation II（重新看一遍视频）

主要讲解如何通过向量化的方式计算神经网络。

Forward propagation: Vectorized implementation

前面我们已经得到：

以上面神经网络为例，试着计算第二层的值，令：

\[x=\begin{bmatrix}x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \]

\[z^{(2)} = \begin{bmatrix} z_1^{(2)} \\ z_2^{(2)} \\ z_3^{(2)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Theta_{10}^{(1)}x_0 + \Theta_{11}^{(1)}x_1 + \Theta_{12}^{(1)}x_2 + \Theta_{13}^{(1)}x_3 \\ \Theta_{20}^{(1)}x_0 + \Theta_{21}^{(1)}x_1 + \Theta_{22}^{(1)}x_2 + \Theta_{23}^{(1)}x_3 \\ \Theta_{30}^{(1)}x_0 + \Theta_{31}^{(1)}x_1 + \Theta_{32}^{(1)}x_2 + \Theta_{33}^{(1)}x_3 \end{bmatrix} \]

\[g \begin{bmatrix} \Theta_{10}^{(1)} & \Theta_{11}^{(1)} & \Theta_{12}^{(1)} & \Theta_{13}^{(1)} \\ \Theta_{20}^{(1)} & \Theta_{21}^{(1)} & \Theta_{22}^{(1)} & \Theta_{23}^{(1)} \\ \Theta_{30}^{(1)} & \Theta_{31}^{(1)} & \Theta_{32}^{(1)} & \Theta_{33}^{(1)} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} =g \begin{bmatrix} \Theta_{10}^{(1)}x_0 + \Theta_{11}^{(1)}x_1 + \Theta_{12}^{(1)}x_2 + \Theta_{13}^{(1)}x_3 \\ \Theta_{20}^{(1)}x_0 + \Theta_{21}^{(1)}x_1 + \Theta_{22}^{(1)}x_2 + \Theta_{23}^{(1)}x_3 \\ \Theta_{30}^{(1)}x_0 + \Theta_{31}^{(1)}x_1 + \Theta_{32}^{(1)}x_2 + \Theta_{33}^{(1)}x_3 \end{bmatrix} \]

令\(z^{(2)}=\Theta^{(1)}x\)，则\(a^{(2)}=g(z^{(2)})\)。