莫比乌斯

[湖北省队互测2014]一个人的数论

$Ans=\sum_{i=1}^{n}i^d[gcd(n,i)==1]$

$Ans=\sum_{i=1}^{n}i^d\sum_{p|i.p|n}u(p)$

推不下去了,换一个想法

$F(n)=\sum_{i=1}^ni^d$

$G(n)=\sum_{i=1}^{n}i^d[gcd(i,n)==1]$

$F(n)=\sum_{i|n}i^dG(\frac{n}{i})$

原理就相当于,每个数字只被一个倍数筛去

$G(n)=\sum_{i|n}u(i)i^dF(\frac{n}{i})$

将$F$用多项式表示

$F(n)=\sum_{i=0}^{d+1}f(i)n^i$

$G(n)=\sum_{i|n}u(i)i^d\sum_{j=0}^{d+1}f(j)(\frac{n}{i})^j$

$G(n)=\sum_{j=0}^{d+1}f(j)n^j\sum_{i|n}u(i)i^{d-j}$

$G(n)=\sum_{j=0}^{d+1}f(j)n^j\Pi_{p}\sum_{t=0}^{num[p]}u(p^t)p^{t(d-j)}$

$G(n)=\sum_{j=0}^{d+1}f(j)n^j\Pi_{p}\sum_{t=0}^{1}u(p^t)p^{t(d-j)}$

$G(n)=\sum_{j=0}^{d+1}f(j)n^j\Pi_{p}(1-p^{d-j})$

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define int long long
using namespace std;
int a[150][150],zy[150];
int d,n;
int my_pow(int a,int b)
{
    if(b==-1)
    {
       return my_pow(a,mod-2);
    }
    int res=1;
    while(b)
    {
          if(b&1)
          {
               res=(res*a)%mod;
          }
          a=(a*a)%mod;
          b>>=1;
    }
    return res;
}
void guass()
{
     for(int i=1;i<=d+2;i++)
     {
          int maxn=i;
          for(int j=i+1;j<=d+2;j++)
          {
              if(abs(a[j][i])>abs(a[maxn][i])) maxn=j;
         }
         swap(a[maxn],a[i]);
         for(int j=1;j<=d+2;j++)
         {
              if(i==j) continue;
              int tmp=(a[j][i]*my_pow(a[i][i],mod-2))%mod;
              for(int k=1;k<=d+3;k++)
              {
                  a[j][k]=(a[j][k]+mod-tmp*a[i][k]%mod)%mod;    
             }
         }
     }
     for(int i=1;i<=d+2;i++)
     {
          zy[i-1]=(a[i][d+3]*my_pow(a[i][i],mod-2))%mod;
     }
}
void Init()
{
     for(int i=1;i<=d+2;i++)
     {
          a[i][d+3]=a[i-1][d+3]+my_pow(i,d);
     }
     for(int i=1;i<=d+2;i++)
     {
          for(int j=1;j<=d+2;j++)
          {
              a[i][j]=my_pow(i,j-1);
         }
     }
     guass();
}
int pri[100005],Ans,lj,N=1;
signed main()
{
    cin>>d>>n;
    Init();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>pri[i]>>lj;
        N=N*my_pow(pri[i],lj)%mod;
    }
    for(int j=0;j<=d+1;j++)
    {
        int res=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            res=(res*(1+mod-my_pow(pri[i],d-j))%mod)%mod;
        }
        Ans=(Ans+zy[j]*my_pow(N,j)%mod*res%mod)%mod;
    }
    cout<<Ans<<endl;
}

 

总结结论

大概类似的$F(n)=\sum_{i=1}^{n}i$

设$G(n)=\sum_{i=1}^{n}i[gcd(n,i)==1]$

都可以$F(n)=\sum_{i|n}iG(\frac{n}{i})$