定义

• 概率，就是某个随机事件出现的可能性大小。

• 若 \(X\) 是一个离散型的随机变量，可能值为 \(x_1,x_2…\)，对应的概率分别为 \(p_1,p_2…\)，那么它的期望值为 \(E(x)=\sum_i \limits p_ix_i\)。

期望的线性性

\[E(x+y)=E(x)+E(y) \]

证明：

\[E(x+y)=\sum_i \sum_j(i+j)*P(i=x,j=y) \]

\[=\sum_i\sum_ji*P(i=x,j=y)+\sum_i\sum_jj*P(i=x,j=y) \]

\[=\sum_ii*P(i=x)+\sum_jj*P(j=y) \]

\[=E(x)+E(y) \]

进而有：

\[E(ax)=aE(x)\\ \]

\[E(\sum_i a_i x_i)=\sum_i a_i E(x_i)\\ \]

当随机变量 \(x\) 和 \(y\) 独立时，有：

\[E(xy)=E(x)E(y) \]

条件概率

令：

\[P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \]

表示 \(B\) 发生之后 \(A\) 发生的概率。

贝叶斯公式：

\[P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \]