随便写写，有空再补

数学

敢猜就赢了。

\(\texttt{Problem 12}\)

已知函数 \(f(x)=x^2+m,g(x)=f(f(x))-x\)，则（）

A. 当 \(m=\frac{1}{4}\) 时，函数 \(g(x)\) 有且仅有一个零点；

B. 当 \(m>\frac{1}{4}\)，函数 \(g(x)\) 没有零点；

C. 当 \(0<m<\frac{1}{4}\) 时，函数 \(g(x)\) 有两个不同的零点；

D. 当 \(m<0\) 时，函数 \(g(x)\) 有四个不同的零点。

先肯定 ABC。

首先 \(f(x)=x\) 的解肯定是 \(f(f(x))=x\) 的解。\(f(x)=x\) 的解是显然的。

若除此之外仍然有别的解 \(x_1\)，不妨设 \(f(x_1)=x_2\)，其中 \(x_2\not=x_1\)，则 \(f(x_2)=x_1\)。

列出来就是

\[\tag{1} x_1^2+m=x_2 \]

\[\tag{2} x_2^2+m=x_1 \]

\((1)-(2)\) 得到

\[(x_1+x_2)(x_1-x_2)=x_2-x_1 \]

前面说了 \(x_1\not =x_2\)，那就有

\[\tag{3} x_1+x_2=-1 \]

\((3)\) 回代 \((1)\)，得到

\[\tag{4} x_1^2+x_1+m+1=0 \]

选项 ABC 中 \(m>0\)，\((4)\) 显然是没有实数解的，这就矛盾了。因此就没有别的解了。

D 随便搞个反例就完事了，比如 \(m=-\frac{1}{2}\)，同样只有 \(f(x)=x\) 的解，那么就只有两个解了。

\(\square\)