问题rt,有很多解决方法。
先说结论,锐角三角形的概率是 \(\frac{1}{4}\),钝角三角形的概率是 \(\frac{3}{4}\) ,直角三角形的概率是 \(0\).
1. 微积分
如下图所示:
其中\(\theta\)在\([0, 2\pi]\)范围内,这样\(\theta\)的概率为\(\frac{1}{2\pi}\),C点需在\([\pi, \pi+\theta]\)的范围内才能构造锐角三角形,C落在这个范围的概率是\(\frac{\theta}{2\pi}\)
\[\int_0^{2\pi} \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\theta}{2\pi}\mathrm{d}\theta = \frac{\theta ^ 2}{4\pi ^ 2}\bigg|_0^\pi = \frac{1}{4} \]