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一、旋转
三维空间中绕坐标轴旋转
R x ( α ) = ( 1 0 0 0 0 cos α − sin α 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 1 ) R y ( α ) = ( cos α 0 sin α 0 0 1 0 0 − sin α 0 cos α 0 0 0 0 1 ) R z ( α ) = ( cos α − sin α 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) \begin{array}{l}\mathbf{R}_{x}(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \\\mathbf{R}_{y}(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc}\cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\-\sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \\\mathbf{R}_{z}(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0 \\\sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\end{array} Rx(α)=⎝⎜⎜⎛10000cosαsinα00−sinαcosα00001⎠⎟⎟⎞Ry(α)=⎝⎜⎜⎛cosα0−sinα00100sinα0cosα00001⎠⎟⎟⎞Rz(α)=⎝⎜⎜⎛cosαsinα00−sinαcosα0000100001⎠⎟⎟⎞
其中绕y轴旋转比较特殊，可以通过向量叉乘去理解，x与y叉乘得到z，y与z叉乘得到x。这两个都是符合叉乘，通过另外另外两个轴右手逆时针旋转得到。而y是z与x叉乘的结果，这两个轴的右手旋转方向和转动方向相反，取负号。
三维空间中绕任意轴旋转
对于任意一个旋转
R
x
y
z
(
α
,
β
,
γ
)
R_{xyz}(α,β,γ)
Rxyz(α,β,γ),可以由 R_x(α) 、R_y(β) 和
R
z
(
γ
)
R_z( \gamma)
Rz(γ) 组成。其中，α 、β 和 γ 称为欧拉角（Euler Angles）。通过下图中的操作，可将飞机的头朝向任意方向。
罗德里格斯公式（Rodrigues’ Rotation Formula）
在三维旋转理论中，对于给定旋转轴和旋转角度，以Olinde Rodrigues命名的罗德里格斯公式是用于在空间旋转向量的高效算法。
旋转轴为 n 轴，旋转角为 α .默认旋转轴过原点(若不过原点，可想将其移至原点，然后做线性变换后，在将其平移至原位置）。其中，罗德里格斯公式如下：
二、观测变换（View/Camera Transformation）
上述三种变换即为MVP变换。
视图变换View Transformation
视图变换是在摆一个照相机。如何才能确定一个相机的摆放
1 定义的三个要素
- 位置
- 观测的方向
- 向上方向（正立，倒立的像）
2 进行视图变换
约定：相机在原点，向上指向 Y，看向 Z 方向。
3 相机转换步骤
将相机转换到原点的标准方向
先将其平移至原点。
再求旋转，先求得其逆变换再求逆，既可以得到变换矩阵（由于旋转变换矩阵为正交矩阵，其逆就是其转置）
总结
投影变换（Rrojection Transformation）
1 投影变换的分类
其中，人眼成像类似于透视投影（右图）；正交投影（左图）常用于工程制图。
透视投影是在一个点投射成四棱锥形成；正交显示若将相机放于无限远，远、*面将无限接近。
2、正交投影
（ 一 ）3D化2D方法：
下图将去除z轴，投影移至
[
−
1
,
1
]
2
[-1,1]^2
[−1,1]2,约定俗成。
（ 一 ）3D方法：
定义一个空间中的立方体，将其映射成标准立方体
[
−
1
,
1
]
3
[−1,1]^3
[−1,1]3中。“先平移再缩放”。
z轴用远和近表示
变换矩阵
坐标系选择不同，会导致结果不同。
三 透视投影
- 越远的对象越远
- 平行线不再相交
如何进行透视投影？（难点）
简单说，就是把这个Frustum的远平面f挤成同*面n一样大的平面，然后进行正交投影。
约定：
3. *面不变
4. 远平面f的中心点不变
5. Z值仍为f
关于远平面挤压后坐标的变化,（通过相似三角形算出）等值关系：
在齐次坐标中，利用上述相似关系
y
′
=
n
z
y
x
′
=
n
z
x
(similar to y’)
y^{\prime}=\frac{n}{z} y \quad x^{\prime}=\frac{n}{z} x \text { (similar to y') }
y′=znyx′=znx (similar to y’)
(
x
y
z
1
)
⇒
(
n
x
/
z
n
y
/
z
unknown
1
)
mult.
by
z
=
=
(
n
x
n
y
still unknown
z
)
\left(\begin{array}{l}x \\y \\z \\1\end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{c}n x / z \\n y / z \\\text { unknown } \\1\end{array}\right)^{\begin{array}{l}\text { mult. } \\\text { by } z \\==\end{array}}\left(\begin{array}{c}n x \\n y \\\text { still unknown } \\z\end{array}\right)
⎝⎜⎜⎛xyz1⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛nx/zny/z unknown 1⎠⎟⎟⎞ mult. by z==⎝⎜⎜⎛nxny still unknown z⎠⎟⎟⎞
上述变换可以用矩阵表示如下，可以确定出变换矩阵的三行
如何去确定剩下的一行呢？通过以下
1. 利用*面的点不变性 *面上的点在经过上述变换后坐标不变
计算出第三行的前两个问号，得出一个等式
A
n
+
B
=
n
2
An+B=n^2
An+B=n2：
2. 利用远平面的点，Z坐标值不变性,得出一个等式
A
n
+
B
=
f
2
An+B=f^2
An+B=f2：
联立上两式即可得
Question：对于中间任意一点（x,y,z），在经过挤压后（将其变为立方体后），变换后的Z值会靠近远平面还是靠近*面？
Answer：会更大一些，乘以变换矩阵即可得到结果。