极限问题的解析解
单变量函数的极限
假设已知函数f(x),则极限问题一般描述为
\[L=\lim_{x \to x_0} f(x) \]此外，还有单边极限问题
\[L=\lim_{x \to x_0^-} f(x) \quad \text{左极限} \\ L=\lim_{x \to x_0^+} f(x) \quad \text{右极限} \]matlab同样可以做这些极限运算
L=limit(fun,x,x0) %求极限
L=limit(fun,x,x0,'left'或'right') %求单边极限
举个例子
试求解极限问题
\[\lim_{x \to \infty} \frac{sin(x)}{x} \]matlab代码
syms x; f=sin(x)/x; limit(f,x,0)运行结果截图
多变量函数的极限
若想求出二元函数的极限
\[L=\lim_{x \to x_0 \atop y \to y_0} f(x) \]我们可以嵌套使用limit()函数。
L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或
L1=limit(limit(f,y,y0),x,x0)
如果x0或y0不是确定的值，而是另一个变量的函数，例如 $ x \to g(y) $ ，则上述极限求取顺序不能交换。
函数导数的解析解
函数的导数和高阶导数
如果函数fun和自变量x都已知，且均为符号变量，则可以用diff()函数解出给定函数的各阶导数。
y=diff(fun,x) %求导
y=diff(fun,x,n) %求n阶导
例：给出如下函数，试求出其一阶导数
\[f(x)= \frac{sinx}{x^2+4x+3} \]matlab代码
syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f,x,1); latex(f1)最后得出结果如下
\[\frac{\cos\!\left(x\right)}{x^2 + 4\, x + 3} - \frac{\sin\!\left(x\right)\, \left(2\, x + 4\right)}{{\left(x^2 + 4\, x + 3\right)}^2} \]
复合泛函求导
例：给出如下函数，试求出其三阶导数公式，以及 $f(t)= e^{-t} $ 时的结果 关键 将f(t)声明为符号变量
\[F(t) = t^2 sint f(t) \]matlab代码
syms t f(t); G=simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3)) simplify(subs(G,f,exp(-t))), simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-ans)最后得出结果如下
G(t)= 6*cos(t)*f(t) + 6*sin(t)*diff(f(t), t) + 3*t^2*cos(t)*diff(f(t), t, t) + 12*t*cos(t)*diff(f(t), t) - 6*t*f(t)*sin(t) + t^2*sin(t)*diff(f(t), t, t, t) - 3*t^2*sin(t)*diff(f(t), t) + 6*t*sin(t)*diff(f(t), t, t) - t^2*cos(t)*f(t) ans(t) = 2*exp(-t)*(3*cos(t) - 3*sin(t) + t^2*cos(t) + t^2*sin(t) - 6*t*cos(t)) ans(t) = 0
矩阵函数的求导
矩阵的求导：
\[H(x)= \begin{bmatrix} 4sin(5x) & e^{-4x^2} \\ 3x^2+4x+1 & \sqrt{4x^2+2} \\ \end{bmatrix} \]可以对每个元素分别求导
syms x;
H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)];
H1=diff(H,x,3)
运行结果：
H1 =
[ -500*cos(5*x), 192*x*exp(-4*x^2) - 512*x^3*exp(-4*x^2)]
[ 0, (24*2^(1/2)*x^3)/(2*x^2 + 1)^(5/2) - (12*2^(1/2)*x)/(2*x^2 + 1)^(3/2)]
参数方程的导数
matlab中没有直接能够求解参数方程的函数，但我们可以根据其在数学上的定义来求：
根据递推公式，我们可以从中看出了，它的形式与我们之前学习的递归调用有很大的相似性，因此我们可以编写一个这样的函数paradiff(y,x,t,n)来求参数方程的n阶导数
%paradiff.m
function result=paradiff(y,x,t,n)
if mod(n,1)~=0, error('n should positive integer, please correct')
else, if n==1, result=diff(y,t)/diff(x,t);
else, result=diff(paradiff(y,x,t,n-1),t)/diff(x,t);
end, end
例：已知参数方程如下，求其三阶导数
\[\begin{cases} y=\frac{sint}{(t+1)^3} \\ x=\frac{cost}{(t+1)^3} \end{cases} \]matlab代码
syms t; y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3; f=paradiff(y,x,t,3); [n,d]=numden(f); %提取分子和分母，进行单独化简 F=simplify(n)/simplify(d)运行结果
F = (3*(t + 1)^7*(23*cos(t) + 24*sin(t) - 6*t^2*cos(t) - 4*t^3*cos(t) - t^4*cos(t) + 12*t^2*sin(t) + 4*t^3*sin(t) - 4*t*cos(t) + 32*t*sin(t)))/(3*cos(t) + sin(t) + t*sin(t))^5
多元函数的偏导数
matlab中没有求取偏导数的专门函数，但我们仍可以通过diff()函数直接实现。假设已知二元函数f(x,y),若想求
则可以使用下面的函数求出
f=diff(diff(f,x,m),y,n) %或者
f=diff(diff(f,y,n),x,m)
例：求如下函数的两个偏导数 $ \partial z / \partial x , \partial z / \partial y $
\[z=f(x,y)=(x^2-2x)e^{-x^2-y^2-xy} \]matlab代码
syms x y; z=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y); zx=simplify(diff(z,x)), zy=diff(z,y)运行结果
zx = exp(- x^2 - x*y - y^2)*(2*x + 2*x*y - x^2*y + 4*x^2 - 2*x^3 - 2) zy = exp(- x^2 - x*y - y^2)*(- x^2 + 2*x)*(x + 2*y)利用得到的偏导数函数zx，zy我们可以在z这个三维曲面上绘制出引力线，得到其梯度函数图形表示，引力线物理意义可看作一个小球在这个位置所受的力。
[x0,y0]=meshgrid(-3:.2:2,-2:.2:2); z0=double(subs(z,{x,y},{x0,y0})); %将符号型转为double型 surf(x0,y0,z0), zlim([-0.7 1.5]) %先画出Z曲面 contour(x0,y0,z0,30), hold on; %画出等高线并保持 zx0=subs(zx,{x,y},{x0,y0}); zy0=subs(zy,{x,y},{x0,y0}); %计算出各个点偏导数的值 quiver(x0,y0,-zx0,-zy0) %把偏导数结果用引力线形式表示出来最终图如下：
隐函数的偏导数
还是直接上结论吧，matlab没有直接求隐函数的偏导数的函数，所以我们根据数学上的公式，编写函数impldiff(f,x,y,n)对 $ z=f(x,y) $ 求n阶偏导数
上代码：
%impldiff.m
function dy=impldiff(f,x,y,n)
if mod(n,1)~=0, error('n should positive integer, please correct')
else, F1=-simplify(diff(f,x)/diff(f,y)); dy=F1;
for i=2:n, dy=simplify(diff(dy,x)+diff(dy,y)*F1);
end, end
例：求如下二元隐函数的一阶偏导数
\[z=f(x,y)=(x^2-2x)e^{-x^2-y^2-xy}=0 \]matlab代码
syms x y; f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y); F1=impldiff(f,x,y,1)运行结果：
F1 = (2*x + 2*x*y - x^2*y + 4*x^2 - 2*x^3 - 2)/(x*(x + 2*y)*(x - 2))
多元函数的雅可比(Jacobian)矩阵
假设有n个自变量的m个函数定义为
\[\begin{cases} y_1=f_1(x_1,x_2,\cdots x_n) \\ y_2=f_2(x_1,x_2,\cdots x_n) \\ \qquad \quad \vdots \qquad \vdots \\ y_m=f_m(x_1,x_2,\cdots x_n) \end{cases} \]将相应的 $ y_i $ 对 $ x_i $ 求偏导，则得出矩阵
\[J= \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1 }{\partial x_1 } & \frac{\partial y_1 }{\partial x_2 } & \cdots & \frac{\partial y_1 }{\partial x_n } \\ \frac{\partial y_2 }{\partial x_2 } & \frac{\partial y_2 }{\partial x_2 } & \cdots & \frac{\partial y_2 }{\partial x_n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m }{\partial x_1 } & \frac{\partial y_m }{\partial x_2 } & \cdots & \frac{\partial y_m }{\partial x_n } \end{bmatrix} \qquad \]该矩阵又称为雅可比(Jacobian)矩阵,在matlab中可以用jacobian()函数直接求得。该函数的调用格式为jacobian(x,y)，其中x是自变量构成的向量，y是由各个函数构成的向量。