考研复习到线性代数的特征值这一章，看到两个基本性质：特征值的积等于矩阵的行列式，特征值的和等于矩阵的迹。用公式表示：
\[\prod_{i=1}^n\lambda_i=|A|\\sum\lambda_i=tr(A)
\]
书上没有证明过程，于是去搜了一下，加上自己的理解，将其整理在此。
由于两个的证明都要用到韦达定理，所以这里先证明一下韦达定理。
1.韦达定理
定理：
设复数系一元n次方程\(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0\)的根为\(x_1,x_2,...,x_n\)，则成立：
\[\begin{align*}
x_1+x_2+...+x_n=&\sum_{i=1}^nx_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n}
\x_1x_2...x_n=&\prod_{i=1}^n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}
\end{align*}
\]
证明：
多项式提出\(a_n\)：
\[原式=a_n(x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}x^{n-1}+...+\frac{a_1}{a_n}x+\frac{a_0}{a_n})
\]
换用零点形式表示：
\[\begin{align*}
原式=&a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)
\=&a_n(x^n-(\sum_{i=1}^n x_i)x^{n-1}+...+(-1)^n\prod_{i=1}^nx_i)
\end{align*}
\]
将两式中的常数项对应起来：
\[\frac{a_0}{a_n}=(-1)^n\prod_{i=1}^nx_i
\]
移项得：
\[\prod_{i=1}^nx_i=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}
\]
将两式中\(x^{n-1}\)的系数对应起来：
\[\frac{a_{n-1}}{a_n}=-\sum_{i=1}^n x_i
\]
移项得：
\[\sum_{i=1}^nx_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n}
\]
2.特征值的积等于行列式
定理：
\[\prod_{i=1}^n\lambda_i=|A|
\]
其中\(\lambda_i\)是A的n个特征值
证明：
特征方程\(|A-\lambda I|=a_0+a_1\lambda+...+a_n\lambda^n\)
上述方程令\(\lambda=0\)，得
\[|A|=a_0
\]
由于\(\lambda_n\)的系数\(a_n\)一定由行列式主对角线元素相乘得到，所以有
\[a_n=(-1)^n
\]
由韦达定理得：
\[\prod_{i=1}^n \lambda=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}=a_0
\]
所以
\[\prod_{i=1}^n \lambda=|A|
\]
3.特征值的和等于矩阵的迹
定理：
\[\sum\lambda_i=tr(A)
\]
证明：
观察特征多项式：
\[\begin{align*}
|A-\lambda I|=&
\left( %左括号
\begin{array}{ccc} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置
a_{11}-\lambda & a_{12} &... &a_{1n}\\ %第一行元素
a_{21} & a_{22}-\lambda &... &a_{2n}\\ %第二行元素
... &...\ a_{n1} & a_{n2} &... &a_{nn}-\lambda
\end{array}
\right) %右括号
\=&a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0
\end{align*}
\]
可知：
\[a_{n-1}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^na_{ii}
\]
根据韦达定理，有：
\[\sum_{i=1}^n\lambda_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n}
\]
带入\(a_{n-1}\)，有：
\[\begin{align*}
\sum_{i=1}^n\lambda_i=&-\frac{a_{n-1}}{a_n}
\\=&-\frac{(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^na_{ii}}{(-1)^n}
\\=&\sum_{i=1}^na_{ii}
\end{align*}
\]