线性代数总结

1.矩阵乘法

A$\times$B=C $ \  \ \  \ \ \ $

$C[i][j]$表示$\sum{A[i][k]\times B[k][j]}$$ \ \ \ \ $$DP$ 思想

$G\times G$      $   \ \  \   G[i][j]$ 表示从$i$到$j$所有长度为$2$的方案数

$(AB)C=A(BC)$

$A \times x=b  \  \  \ $数线性齐次方程组

$(x1,x2,x3......,xn)$ $ \ \ \ \ \  \ n$维向量

系数矩阵+结果矩阵=增广矩阵 （愉快的高斯消元）

2.矩阵的秩

含义：一个矩阵所有不全为零的有用的行数，可经过线性变化仍不为零。

满秩矩阵可逆，所有行不为零，存在$A^{-1}$。

$A \times A^{-1}=E$(单位矩阵)

矩阵乘一个满秩矩阵不升维：更高的维度为$0$，乘$0$更高维还是$0$，维度不变。

矩阵乘一个不满秩矩阵可能降维，原有维度变为$0$。

满秩矩阵一般指方阵，如果不是方阵，称为行满秩或者列满秩。

#### 3.矩阵行列式

表示在线性变换(加减乘除等变换)中，不变的量。

三阶阶行列式：

$ \begin{matrix}
a[1][1]& a[1][2]& a[1][3] \\
a[2][1]& a[2][2]& a[2][3]\\
a[3][1]& a[3][2] &a[3][1]
\end{matrix} $

$↘$对角线元素相乘后相加，$↙$元素相乘后相减。

行列式运算法则：

$\sum(-1)^{D(p1,p2,p3......)}a[1][p1]\times a[2][p2]......\times a[n][pn]$

$D$为排列的逆序对数，就是列下标所有排列的逆序对数。

对角矩阵行列式为对角线相乘，且$|A|=|A^{T}|$（转置）。

满秩矩阵$|A|\neq 0$

4.矩阵对角化

$A=P^{-1}QP$

$Q$特征值$\lambda$形成的对角矩阵

5.线性齐次方程组

$Ax=\lambda x$

$ (A- \lambda E )\times x=0 $

即$|\lambda E-A|\times x=0$

$P$特征向量的矩阵

$|\lambda E-A|=0$是方程有解的充分必要条件，必须得求出$\lambda$的值才能求出原方程的解。

然后得出原矩阵进行计算，得出各个$x$之间的关系，找出可变项任意带入求解。

6.极大线性无关组

含义：其余所有的向量都可以用它来表示

极大线性无关组的数字个数等于矩阵的秩$r$。

7.幂零多项式（特征多项式）

$f(x)$当$x=A$时$f(x)=0$称为$A$的幂零多项式。

$f(A)=(A-\lambda_{1} E)\times(A-\lambda_{2} E)\times(A-\lambda_{3} E)$

一个递推式$F_n=C_i\times F_{n-1}$的矩阵特征(幂零)多项式为
$\lambda^n- \sum C_i\times\lambda ^{i-1} $

8.多项式取模

$f(x)=x-3  \ \ \  \ \ \ \ f(3)=0 \  \ \ \  \ \  \ \ g(x_0)=0 \ \ \ \ \ h(x)=f(x)$%$g(x) $

$h(x_0)=f(x_0)$

9.行列式展开

将行列式按照行，列展开，取出这一行的每个元素求代数余子式相加。

代数余子式是去掉以一个元素为中心的十字，然后得到的行列式。