Analysis
先把单独一行拿出来看,设 \(f_1\) 是这一行的第一个元素,有 \(f_i=f_{i-1}*a+b\)。所以 \(f_m=f_1a^{m-1}+\frac{a^{i-1}-1}{a-1}b\)。如果不会的可以再去补一下高中数学。
然后设 \(g_i\) 是第 \(i\) 行的 \(f_m\),有 \(g_i=(g_{i-1}c+d)a^{m-1}+\frac{a^{i-1}-1}{a-1}b\),然后换个元又变成上面的式子,搞一搞就出来了。
但是 \(n,m\) 太大怎么搞?我们有一个费马小定理,\(a^{p-1}=1\pmod p,a<p\)。然后就可以降到 \(p\) 以下了。
坑点:注意 \(a=1\) 时等比数列求和公式不存在,需要特判,而次时又需要模 \(p\) 的 \(n,m\),所以 \(n,m\) 两个都要模。
namespace Solve{
const long long mod = 1e9 + 7;
const int MAXL = 1000010;
static char n[MAXL], m[MAXL];
static int lenn, lenm;
static long long a, b, c, d;
long long ksm(long long x, long long y) {
long long ret = 1;
while (y) {
if (y & 1) ret = (ret * x) % mod;
x = (x * x) % mod;
y >>= 1;
}
return ret;
}
void BruteForcePlus() {
long long MOD = mod - 1;
long long nn = 0, mm = 0;
long long nnn = 0, mmm = 0;
for (int i = 1; i <= lenn; i++) nn = (nn * 10 + n[i] - '0') % MOD, nnn = (nnn * 10 + n[i] - '0') % mod;
for (int i = 1; i <= lenm; i++) mm = (mm * 10 + m[i] - '0') % MOD, mmm = (mmm * 10 + m[i] - '0') % mod;
if (nn == 0) nn = MOD;
if (mm == 0) mm = MOD;
long long y = c * ksm(a, mm - 1) % mod;
long long x = ((ksm(a, mm - 1) - 1 + mod) * ksm(a - 1, mod - 2) % mod * b % mod + d * ksm(a, mm - 1) % mod) % mod;
long long ans = (ksm(a, mm - 1) + (ksm(a, mm - 1) - 1 + mod) * ksm(a - 1, mod - 2) % mod * b % mod) % mod;
if (a == 1) {
x = ((mmm - 1) * b % mod + d + mod) % mod;
ans = (1 + (mmm - 1) * b % mod + mod) % mod;
}
if (y == 1) ans = (ans + x * (nnn - 1) % mod + mod) % mod;
else ans = (ans * ksm(y, nn - 1) % mod + (ksm(y, nn - 1) - 1 + mod) * ksm(y - 1, mod - 2) % mod * x % mod) % mod;
print(ans);
}
void MAIN() {
scanf("%s%s", n + 1, m + 1);
scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &d);
lenn = strlen(n + 1);
lenm = strlen(m + 1);
BruteForcePlus();
}
} using namespace Solve;